Postać wykładnicza liczby zespolonej

[hostinger]

Skąd wzięła się postać wykładnicza liczby zespolonej, po co, dlaczego ta postać wygląda tak jak wygląda a nie inaczej???. Po co tam liczba e??

[AiDi]

Temat dość standardowy, informacje o tym znaleźć można niemal wszędzie:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone

część "Postać wykładnicza".

[Peter Zof]

Wygląda tak a nie inaczej z rozwinięcia pewnych funkcji w szereg taylora.

Mianowicie, jak wiadomo

\(\displaystyle{ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}\),

Tak więc

\(\displaystyle{ e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(i\theta)^n}{n!}=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}+\dots=\left[1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\dots\right]+i\left[\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\dots\right]}\) \(\displaystyle{ =\cos(\theta)+i \sin(\theta)}\).

Ostatnia równość wynika z rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) w szereg Taylora.