Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ f : \RR \rightarrow \CC}\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(t)= \frac{1+ti}{1-ti}}\) przekształca prostą \(\displaystyle{ \RR}\) na okrąg bez punktu.
Jak zacząć?
Uzasadnić, że funkcja przekształca prostą na okrąg.
-
GluEEE
- Użytkownik
- Posty: 924
- Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Całkonacja
- Podziękował: 227 razy
- Pomógł: 14 razy
Uzasadnić, że funkcja przekształca prostą na okrąg.
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{1+ti}{1-ti} \right|=1 \\
\frac{1+ti}{1-ti} = \frac{2ti-t^2+1}{t^2+1}= \frac{2ti}{1+t^2}- \frac{t^2-1}{t^2+1}}\)
Ponieważ moduł jest stały i wynosi 1 oraz \(\displaystyle{ \frac{2ti}{1+t^2} \in \left\langle -1, 1\right\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{t^2-1}{t^2+1} \in \left\langle -1, 1 \right)}\), to \(\displaystyle{ f(t)}\) jest okręgiem bez jednego punktu.
Jest ok?
\(\displaystyle{ \left| \frac{1+ti}{1-ti} \right|=1 \\
\frac{1+ti}{1-ti} = \frac{2ti-t^2+1}{t^2+1}= \frac{2ti}{1+t^2}- \frac{t^2-1}{t^2+1}}\)
Ponieważ moduł jest stały i wynosi 1 oraz \(\displaystyle{ \frac{2ti}{1+t^2} \in \left\langle -1, 1\right\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{t^2-1}{t^2+1} \in \left\langle -1, 1 \right)}\), to \(\displaystyle{ f(t)}\) jest okręgiem bez jednego punktu.
Jest ok?