Rozkładanie wielomianu na iloczyn czynników

[Kyriet]

Witam,
dopiero rozpocząłem swoją przygodę z liczbami zespolonymi i chciałbym Was prosić o wyjaśnienie pewnego zjawiska.

Mamy taki wielomian:
\(\displaystyle{ x^{4} + 1}\)
I można go rozłożyć tak:

\(\displaystyle{ niech \ t= x^{2}}\)

\(\displaystyle{ t^{2} + 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ t^{2} = -1}\)

\(\displaystyle{ t_{1} = i}\)

\(\displaystyle{ t_{2} = -i}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ x^{4}+1 = (x^{2}-i)(x^{2}+i)}\)

Po kolejnych obliczeniach otrzymuję taki rozkład:

\(\displaystyle{ \left( x+i\sqrt{i} \right) \left(x-i\sqrt{i}\right)\left(x-\sqrt{i}\right)\left(x+\sqrt{i}\right)}\)

Po przemnożeniu oczywiście wynikiem będzie \(\displaystyle{ x^{4}+1}\)

I rzeczywiście otrzymałem pierwiastki tego wielomianu. Ale można ten wielomian również rozłożyć do współczynników rzeczywistych korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ \left(x^{2}\right)^{2} + 1}\)
\(\displaystyle{ \left( x^{2}\right) ^{2} + 2x^{2} + 1 - 2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(x^{2} + 1\right)^{2} - \left(x \sqrt{2}\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(x^{2} + x\sqrt{2} + 1\right)\left(x^{2} - x\sqrt{2} + 1\right)^{*}}\)
Powyższa forma rozkładu jest przeze mnie szukaną, więc na tym kończę zadanie. Moje pytanie brzmi: jak osiągnąć taką formę rozkładu korzystając z liczb zespolonych. Coś jakby... najpierw rozłożyć na nawiasy z liczbami urojonymi, aby potem otrzymać wynik (rozkład) rzeczywisty?

Jednak po obliczeniu pierwiastków dwóch powyższych funkcji kwadratowych otrzymujemy taki rozkład wielomianu:

\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{\sqrt{2}(1+i)}{2} \right)\left( x+ \frac{\sqrt{2}(1-i)}{2} \right)\left( x- \frac{\sqrt{2}(1+i)}{2} \right)\left( x- \frac{\sqrt{2}(1-i)}{2} \right)}\)
Po przemnożeniu tych nawiasów oczywiście otrzymamy 2 powyższe funkcje kwadratowe \(\displaystyle{ ^{*}}\) i w ostatecznym rozrachunku wielomian \(\displaystyle{ x^{4} + 1}\)

Problem jednak w tym, że to co otrzymałem w tych nawiasach, to nie są pierwiastki wielomianu, a jedynie tych dwóch funkcji kwadratowych.

Czy ktoś może mi wyjaśnić co tutaj się stało? Zwykle było tak, że przy rozkładzie wielomianów dużych stopni najpierw rozkładało się na 2 nawiasy, potem te 2 nawiasy na kolejne 2 i tak dalej... i ostatecznie otrzymywaliśmy rozkład ze wszystkimi pierwiastkami. W przypadku liczb zespolonych to nie działa?

Przez natłok treści powtórzę pytania, które mam do Was:
1. Dlaczego 2 sposoby rozkładu tego samego wielomianu dały inne współczynniki?
2. Dlaczego jeden ze sposobów rozkładu wielomianu nie dał pierwiastków tego wielomianu?
3. Czy da się osiągnąć rozkład \(\displaystyle{ ^{*}}\) począwszy od rozkładu przez deltę i liczby zespolone i potem jakoś powrócić do zapisu z wyłącznie liczbami rzeczywistymi?

Pozdrawiam.

[Kacperdev]

zastawnów się ile wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\)

[Kyriet]

W 4 słowach udzieliłeś odpowiedzi na wszystkie moje pytania i niejasności

Mam zatem jeszcze jedno krótkie pytanie. Jeśli

\(\displaystyle{ \sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \vee -\frac{1+i}{ \sqrt{2} }}\)

To przy podstawianiu do wzoru:

\(\displaystyle{ \left( x+i\sqrt{i} \right) \left(x-i\sqrt{i}\right)\left(x-\sqrt{i}\right)\left(x+\sqrt{i}\right)}\)

Wolno mi podstawiać raz \(\displaystyle{ \frac{1+i}{\sqrt{2}}}\) a raz \(\displaystyle{ -\frac{1+i}{ \sqrt{2}}}\) ?
Bo teoretycznie ten sam pierwiastek występujący w jednym wyrażeniu może przyjąć (chyba) różne wartości.

[Kacperdev]

Raczej unkaj tego, bo tu łatwo o pomyłke. Ale jak już chcesz to jedno podstawienie do całego iloczynu. Jeżeli wybierałbyś sobie według swego uznania mogłyby Ci popowstawać wielokrotne pierwiastki.

\(\displaystyle{ \sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \vee -\frac{1+i}{ \sqrt{2} }}\)

raczej... \(\displaystyle{ \sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \vee \sqrt{i} = -\frac{1+i}{ \sqrt{2} }}\)

[Dasio11]

3. Czy da się osiągnąć rozkład \(\displaystyle{ ^{*}}\) począwszy od rozkładu przez deltę i liczby zespolone i potem jakoś powrócić do zapisu z wyłącznie liczbami rzeczywistymi?

Tak. Najpierw należy rozłożyć wielomian na czynniki liniowe. Jeśli ten wielomian miał współczynniki rzeczywiste, to jego nierzeczywiste pierwiastki występują parami: pierwiastek i jego sprzężenie. Teraz wystarczy wymnożyć czynniki liniowe odpowiadające sprzężonym pierwiastkom.

Wynika to z ogólnej obserwacji: jeśli \(\displaystyle{ z \in \CC,}\) to wielomian stopnia \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ (x-z)(x-\overline{z}) = x^2 - \left( z + \overline{z} \right) x + z \cdot \overline{z} = x^2 - 2 \Re z \cdot x + |z|^2}\)

ma zawsze rzeczywiste współczynniki.


W twoim przypadku:

\(\displaystyle{ x^4+1 = \left( x - \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right) \left( x - \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right) \left( x - \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \right) \left( x - \frac{-1-i}{\sqrt{2}} \right).}\)

Skoro

\(\displaystyle{ \overline{\left[ \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right]} = \frac{1-i}{\sqrt{2}} \\[1ex]
\overline{\left[ \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \right]} = \frac{-1-i}{\sqrt{2}},}\)

to wymnażamy tak:

\(\displaystyle{ {\left( x - \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right) \left( x - \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right) = x^2 - \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} + \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right) x + \frac{1+i}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1-i}{\sqrt{2}} = x^2 - \sqrt{2} x + 1} \\[2ex]
{\left( x - \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \right) \left( x - \frac{-1-i}{\sqrt{2}} \right) = x^2 - \left( \frac{-1+i}{\sqrt{2}} + \frac{-1-i}{\sqrt{2}} \right) x + \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \cdot \frac{-1-i}{\sqrt{2}} = x^2 + \sqrt{2} x + 1},}\)

czyli

\(\displaystyle{ x^4 + 1 = \left( x^2 - \sqrt{2} x + 1 \right) \left( x^2 + \sqrt{2} x + 1 \right).}\)