Dobry wieczór, byłem w separacji z matematyką przez kilka lat i teraz mam problem z rozwiązaniem zadania o następującej treści:
Znajdź miejsce geometryczne punktów z płaszczyzny zespolonej, które spełniają następujące równanie:
\(\displaystyle{ |z - z_{1}| = |z - z_{2}|}\)
gdzie \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}}\) , dwie różne ale ustalone liczby zespolone.
Ponadto pytanie do kolejnego zadania:
Sprawdź, czy następujące funkcja zmiennej zespolonej jest różniczkowalna w sensie zespolonym:
a) \(\displaystyle{ f(z) = e^{x}*cos y + ie^{x}sin y}\)
W tych przypadkach, w których f(z) jest różniczkowalna podaj jej pochodną zespoloną.
Wiem, że trzeba wyznaczyć pochodne cząstkowe po x i y dla utworzonych funkcji u, v. Następnie przyrównać wg twierdzenia C-R. Co jednak oznacza ustęp o wyznaczeniu jej pochodnej zespolonej, jeśli jest różniczkowalna?
Z góry dziękuję za pomoc,
Kuba.
Miejsce geometryczne punktów z płaszczyzny zespolonej
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Miejsce geometryczne punktów z płaszczyzny zespolonej
Dobry wieczór. Czasem separacja kończy się rozwodem.
Zadanie pierwsze: punkty spełniające tę zależność leżą na płaszczyźnie zespolonej na symetralnej odcinka łączącego punkty\(\displaystyle{ z_{1}=(\Re z_{1}, \Im z_{1})}\) i \(\displaystyle{ z_{2}=(\Re z_{2}, \Im z_{2})}\). Proszę spojrzeć:
Zadanie drugie: tak, zgadza się, równania Cauchy'ego-Riemanna będą potrzebne. A dalej:\(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy ze wzoru Eulera \(\displaystyle{ e^{x}*cos y + ie^{x}\sin y=e^{z}}\). No i masz wyznaczyć pochodną zespoloną w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ z}\), tj. znaleźć \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}\) (tutaj \(\displaystyle{ h}\) jest zespolone!), jest też kilka innych równoważnych definicji, np. \(\displaystyle{ \lim_{z \to z_{0}} \frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\)
Zadanie pierwsze: punkty spełniające tę zależność leżą na płaszczyźnie zespolonej na symetralnej odcinka łączącego punkty\(\displaystyle{ z_{1}=(\Re z_{1}, \Im z_{1})}\) i \(\displaystyle{ z_{2}=(\Re z_{2}, \Im z_{2})}\). Proszę spojrzeć:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/P%C5%82aszczyzna_zespolonaZadanie drugie: tak, zgadza się, równania Cauchy'ego-Riemanna będą potrzebne. A dalej:\(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy ze wzoru Eulera \(\displaystyle{ e^{x}*cos y + ie^{x}\sin y=e^{z}}\). No i masz wyznaczyć pochodną zespoloną w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ z}\), tj. znaleźć \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}\) (tutaj \(\displaystyle{ h}\) jest zespolone!), jest też kilka innych równoważnych definicji, np. \(\displaystyle{ \lim_{z \to z_{0}} \frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\)
Miejsce geometryczne punktów z płaszczyzny zespolonej
Dzięki za zainteresowanie tematem!
Co do pierwszego, odpowiedź wydaje się jak najbardziej słuszna, ale jak to udowodnić - wyprowadzić?
Zaś w drugim, jeśli warunek C-R jest spełniony, to funkcja jest różniczkowalna w każdym miejscu - dobrze to rozumiem? Znaczy to tyle, że można wyznaczyć pochodną w dowolnym jej punkcie. Co jeśli ten warunek nie będzie spełniony?
Ponadto nie bardzo rozumiem wyznaczanie pochodnej zespolonej. Przychodzą mi na myśl tylko pochodne cząstkowe po części rzeczywistej i części urojonej. Mogę liczyć na jakąś podpowiedź w tej kwestii?
Co do pierwszego, odpowiedź wydaje się jak najbardziej słuszna, ale jak to udowodnić - wyprowadzić?
Zaś w drugim, jeśli warunek C-R jest spełniony, to funkcja jest różniczkowalna w każdym miejscu - dobrze to rozumiem? Znaczy to tyle, że można wyznaczyć pochodną w dowolnym jej punkcie. Co jeśli ten warunek nie będzie spełniony?
Ponadto nie bardzo rozumiem wyznaczanie pochodnej zespolonej. Przychodzą mi na myśl tylko pochodne cząstkowe po części rzeczywistej i części urojonej. Mogę liczyć na jakąś podpowiedź w tej kwestii?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Miejsce geometryczne punktów z płaszczyzny zespolonej
Pierwsze: no to jest takie intuicyjne, geometryczne. A gdyby koniecznie na sucho wyprowadzać, to tak: \(\displaystyle{ z=x+iy, z_{1}=x_{1}+iy_{1}, z_{2}=x_{2}+iy_{2}}\) (części rzeczywiste i urojone) i warunek można przepisać tak:
\(\displaystyle{ |z - z_{1}| = |z - z_{2}| \Leftrightarrow \sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}} = \sqrt{(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}\), stronami podnosimy do kwadratu, redukujemy i zostaje jakiś totalny syf, który nie wiem, jak zinterpretować. Trzeba wiedzieć i wtedy jest fajnie. Nigdy nie zrozumiem, po co dowodzić takich faktów. To jest oczywiste, co kończy dowód.
Albo tak: \(\displaystyle{ \left| z-z_{1}\right| =r}\) dla \(\displaystyle{ r>0}\) to okrąg na płaszczyźnie zespolonej. Zauważmy, że okręgi \(\displaystyle{ \left| z-z_{1}\right| =r}\) i \(\displaystyle{ \left| z-z_{2}\right| =r}\)
mają:
- zero punktów wspólnych, gdy \(\displaystyle{ r< \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{2}}\);
- jeden punkt wspólny, gdy \(\displaystyle{ r= \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{2}}\);
- dwa punkty wspólne, gdy \(\displaystyle{ \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{2}<r}\)
Dwa pierwsze przypadki są trywialne, skupmy się na trzecim. Narysujmy sobie odcinek łączący \(\displaystyle{ z_{1}}\) z \(\displaystyle{ z_{2}}\). Potem ustalmy dowolne \(\displaystyle{ r> \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{2}}\) i narysujmy sobie okręgi \(\displaystyle{ \left| z-z_{1}\right| =r}\) i \(\displaystyle{ \left| z-z_{2}\right| =r}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jak w trzecim przypadku. Zaznaczamy punkty przecięcia i łączymy ze środkami okręgów, tj. punktami zet jeden i zet dwa. Powstaje romb o boku \(\displaystyle{ r}\), którego jedna przekątna jest odcinkiem między \(\displaystyle{ z_{1}}\) a \(\displaystyle{ z_{2}}\). Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem jeśli \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\) to punkty przecięcia się okręgów, czyli dwa pozostałe wierzchołki powstałego rombu, to \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\) leżą na prostej prostopadłej do odcinka łączącego \(\displaystyle{ z_{1}}\) z \(\displaystyle{ z_{2}}\). Ponadto przekątne rombu połowią się w punkcie przecięcia, który oczywiście leży na każdej z nich, zatem w szczególności leży na odcinku \(\displaystyle{ [z_{1},z_{2}]}\), zatem przekątna łącząca \(\displaystyle{ p_{1}}\) z \(\displaystyle{ p_{2}}\) przechodzi przez środek odcinka między \(\displaystyle{ z_{1}}\) a \(\displaystyle{ z_{2}}\) i jest do tego odcinka prostopadła. Zatem zawiera się w symetralnej odcinka \(\displaystyle{ [z_{1},z_{2}]}\), tj. punkty \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\), tj. jedyne punkty odległe zarówno od \(\displaystyle{ z_{1}}\), jak i od \(\displaystyle{ z_{2}}\) o \(\displaystyle{ r}\), leżą na symetralnej tego odcinka. Uff, pewnie można \(\displaystyle{ 2192483094857976}\) razy prościej, ale ja jestem "humanistą" (chodzi mi o sposób myślenia charakterystyczny dla osób, które tak o sobie mówią, nie twierdzę, że matematyka czy fizyka nie jest nauka humanistyczną) i nie mam wyobraźni matematycznej.
Co do drugiego: tak, zgadza się. Jeśli zaś warunek nie będzie zachodził w jakimś zbiorze \(\displaystyle{ D}\), to zawsze jeszcze funkcja może być różniczkowalna w sensie zespolonym w \(\displaystyle{ \CC \setminus D}\), jeżeli tam równania będą spełnione.
No napisałem już, co dalej robisz. Twoja funkcja to inaczej \(\displaystyle{ e^{z}}\), bo \(\displaystyle{ z=x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ e^{iy}=\cos y+i\sin y}\) ze wzoru Eulera. Liczysz \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{e^{z+h}-e^{z}}{h}}\)
\(\displaystyle{ |z - z_{1}| = |z - z_{2}| \Leftrightarrow \sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}} = \sqrt{(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}\), stronami podnosimy do kwadratu, redukujemy i zostaje jakiś totalny syf, który nie wiem, jak zinterpretować. Trzeba wiedzieć i wtedy jest fajnie. Nigdy nie zrozumiem, po co dowodzić takich faktów. To jest oczywiste, co kończy dowód.
Albo tak: \(\displaystyle{ \left| z-z_{1}\right| =r}\) dla \(\displaystyle{ r>0}\) to okrąg na płaszczyźnie zespolonej. Zauważmy, że okręgi \(\displaystyle{ \left| z-z_{1}\right| =r}\) i \(\displaystyle{ \left| z-z_{2}\right| =r}\)
mają:
- zero punktów wspólnych, gdy \(\displaystyle{ r< \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{2}}\);
- jeden punkt wspólny, gdy \(\displaystyle{ r= \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{2}}\);
- dwa punkty wspólne, gdy \(\displaystyle{ \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{2}<r}\)
Dwa pierwsze przypadki są trywialne, skupmy się na trzecim. Narysujmy sobie odcinek łączący \(\displaystyle{ z_{1}}\) z \(\displaystyle{ z_{2}}\). Potem ustalmy dowolne \(\displaystyle{ r> \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{2}}\) i narysujmy sobie okręgi \(\displaystyle{ \left| z-z_{1}\right| =r}\) i \(\displaystyle{ \left| z-z_{2}\right| =r}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jak w trzecim przypadku. Zaznaczamy punkty przecięcia i łączymy ze środkami okręgów, tj. punktami zet jeden i zet dwa. Powstaje romb o boku \(\displaystyle{ r}\), którego jedna przekątna jest odcinkiem między \(\displaystyle{ z_{1}}\) a \(\displaystyle{ z_{2}}\). Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem jeśli \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\) to punkty przecięcia się okręgów, czyli dwa pozostałe wierzchołki powstałego rombu, to \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\) leżą na prostej prostopadłej do odcinka łączącego \(\displaystyle{ z_{1}}\) z \(\displaystyle{ z_{2}}\). Ponadto przekątne rombu połowią się w punkcie przecięcia, który oczywiście leży na każdej z nich, zatem w szczególności leży na odcinku \(\displaystyle{ [z_{1},z_{2}]}\), zatem przekątna łącząca \(\displaystyle{ p_{1}}\) z \(\displaystyle{ p_{2}}\) przechodzi przez środek odcinka między \(\displaystyle{ z_{1}}\) a \(\displaystyle{ z_{2}}\) i jest do tego odcinka prostopadła. Zatem zawiera się w symetralnej odcinka \(\displaystyle{ [z_{1},z_{2}]}\), tj. punkty \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\), tj. jedyne punkty odległe zarówno od \(\displaystyle{ z_{1}}\), jak i od \(\displaystyle{ z_{2}}\) o \(\displaystyle{ r}\), leżą na symetralnej tego odcinka. Uff, pewnie można \(\displaystyle{ 2192483094857976}\) razy prościej, ale ja jestem "humanistą" (chodzi mi o sposób myślenia charakterystyczny dla osób, które tak o sobie mówią, nie twierdzę, że matematyka czy fizyka nie jest nauka humanistyczną) i nie mam wyobraźni matematycznej.
Co do drugiego: tak, zgadza się. Jeśli zaś warunek nie będzie zachodził w jakimś zbiorze \(\displaystyle{ D}\), to zawsze jeszcze funkcja może być różniczkowalna w sensie zespolonym w \(\displaystyle{ \CC \setminus D}\), jeżeli tam równania będą spełnione.
No napisałem już, co dalej robisz. Twoja funkcja to inaczej \(\displaystyle{ e^{z}}\), bo \(\displaystyle{ z=x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ e^{iy}=\cos y+i\sin y}\) ze wzoru Eulera. Liczysz \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{e^{z+h}-e^{z}}{h}}\)
Miejsce geometryczne punktów z płaszczyzny zespolonej
Niestety mój matematyk to wielki fan oznaczeń i kwantyfikatórów, a przeciwnik wszelkiego rodzaju liczb. W każdym razie kiedy to sobie narysowałem, to jednoznacznie wskazuje na symetralną odcinka. Myślę, że to go usatysfakcjonuje
Dzięki jeszcze raz!
Dzięki jeszcze raz!