Pierwiastki zespolone oraz układ równań

[bielu000]

Cześć, miałem na kolokwium taki przykład:
\(\displaystyle{ x^{5} = 243}\)

Nie miałem na to jakiegoś pomysłu, oprócz tego, że \(\displaystyle{ \sqrt[5]{243} = 3}\)
Umiem liczyć pierwiastki poprzez liczenie modułu, kąta \(\displaystyle{ \phi}\), wykorzystywać wzory redukcyjne itp, natomiast w tym przykładzie, nie można było obliczyć jakiegoś sensownego kąta \(\displaystyle{ \phi}\) odczytać go z tablic, i zrobić resztę. Podobno trzeba było zrobić coś w stylu:
\(\displaystyle{ 360/5 = 72 \\
w_1 = 3(\cos 0 + i \sin 0)\\
w_2 = 3(\cos 72 + i \sin 72)}\)
itd.

Dlaczego właśnie tak miało być? Jak to wytłumaczyć? Czy zawsze tak się robi, jeżeli znamy chociaż jeden pierwiastek danej liczby?

I jeszcze taki układ równań.
"Rozwiąż układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ z}\)".

\(\displaystyle{ \begin{cases} (2+i)z + (2-i)t = 6 \\
(3+2i)z +(3-2i)t = 8 \end{cases}}\)

Tutaj pachnie mi trochę wzorami skróconego mnożenia. Czy może za zmienne \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ z}\) podstawiamy \(\displaystyle{ a + ib}\) i wtedy wymnażamy? Sam nie wiem - trochę się przy tym zakręciłem.

Ogólnie to jakoś nie popisałem się na tym kolokwium, chociaż przyznam szczerze że się przygotowywałem, tyle że bardziej z przykładów takich jak wyżej pisałem - gdzie przy liczeniu pierwiastków wychodziły ładne wartości które można było odczytać z tablic. Jeżeli rozwiązanie, które podałem wyżej faktycznie jest trafne to tym bardziej szkoda bo wydaje się ono proste. Jeżeli tak jest to prosiłbym o jakieś krótkie wytłumaczenie dlaczego tak można to zrobić, oraz na jakiego typu przykłady zwrócić sobie jeszcze uwagę, kiedy będę się przygotowywał do poprawy kolokwium.

[Premislav]

Co do pierwszej sprawy to po prostu zadanie jest słabe, bo spodziewam się, że wielu studentów, którzy to pisali i widzieli, że nie można wyliczyć sensownego argumentu kątowego (tj. takiego, który umożliwiłby powrót do postaci algebraicznej), zarzucili tę drogę (i jest to trochę nie w porządku ze strony prowadzącego/układającego zadania, chyba że zaznaczał, iż postać trygonometryczna jest akceptowana) i na tym skończę swój komentarz nt. tego przykładu.
Generalnie to jeśli \(\displaystyle{ w_{0}}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ w^{n}=z}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) to jakaś niezerowa liczba zespolona, zaś \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\), to wszystkie rozwiązania tego równania są postaci \(\displaystyle{ w_{0} \left(\cos \frac{2k \pi}{n} +i\sin \frac{2k\pi}{n}\right )}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,...n-1}\). To w tym nawiasie to pierwiastki zespolone stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\) - gdy je podniesiesz do potęgi \(\displaystyle{ n}\), to wyjdzie jeden.

Co do tego:

"Rozwiąż układ równań z niewiadomymi t i z".

\(\displaystyle{ (2+i)z + (2-i)t = 6\\
(3+2i)z +(3-2i)t = 8}\)

wystarczy podstawić z jednego równania do drugiego np. za \(\displaystyle{ t}\), zupełnie jak w przypadku układów równań z liczbami rzeczywistymi. Można też np. pomnożyć pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ (3-2i)}\), drugie równanie przez \(\displaystyle{ i-2}\), a następnie dodać stronami, wyliczyć z tego \(\displaystyle{ z}\), a co za tym idzie również \(\displaystyle{ t}\) (podstawiamy np. do pierwszego z wyjściowych równań i mamy równanie z jedną niewiadomą) - metoda przeciwnych współczynników.

[SlotaWoj]

Zadanie 1.

Dlaczego właśnie tak miało być?

Z definicji pierwiastka stopnia \(\displaystyle{ n}\) z liczby zespolonej.

Zadanie 2.
Rozwiązuj tak jak zwykły układ równań liniowych. Tak jak podał Premislav, albo np. stosując wzory Cramera.
Jeśli chcesz podstawiać:

• \(\displaystyle{ t=a_t+b_ti\\z=a_z+b_zi}\)

To musisz przekształcić układ dwóch równań w układ czterech równań.

[dec1]

Co do twojego pierwszego pytania, kiedyś Ci pokazywałem, że pierwiastki z jedynki stopnia piątego można zinterpretować graficznie jako pięciokąt foremny. Odcinki łączące środek z wierzchołkami tego pięciokąta dzielą pięciokąt na pięć części o kątach \(\displaystyle{ 360^{\circ}/5=72^{\circ}}\)

Co do układu po prostu znajdź \(\displaystyle{ t}\) i podstaw, jak sugerowali poprzednicy, ewentualnie wzory Cramera, a może nawet eliminacja Gaussa.

[bielu000]

Hmm szczerze mówiąc moje rozwiązanie było podobne tj. wyglądało tak:
\(\displaystyle{ W0 = 3}\)
\(\displaystyle{ W1 = 3 \left( \cos \frac{2 \pi}{5} + i \sin \frac{2 \pi}{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ W2 = W1 \left( \cos \frac{2 \pi}{5} + i \sin \frac{2 \pi}{5} \right)}\)
itd...
Dlaczego tak? Podczas nauki trafiłem gdzieś na taką informację, że znając chociaż jeden pierwiastek każde następne rozwiązanie to poprzedni pierwiastek pomnożony przez \(\displaystyle{ \left( \cos \frac{2 \pi}{n} + i \sin \frac{2 \pi}{n} \right)}\)

Czyli tak jak napisałem tam kilka linijek wyżej.

@up zgadza się, faktycznie pisałeś mi o tym w innym wątku. Widocznie jakoś to pominąłem. Hmm tylko teraz tak - pisaliście, że pierwiastki n tego stopnia z jedynki można zinterpretować graficznie. Ale czy dotyczy się to każdej innej liczby rzeczywistej?

Powiedzmy, że mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{216}}\) Wiemy, że jednym pierwiastkiem będzie liczba 6. Czy w związku z tym
można zrobić coś takiego:

\(\displaystyle{ 360 ^{\circ} /3 = 120^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ W0 = 6 \left( \cos 0^{\circ} + i \sin 0^{\circ} \right)}\)

\(\displaystyle{ W1 = 6 \left( \cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ} \right)}\)

Co do układu równań to rozumiem, że najłatwiej zrobić metodą podstawiania - tj. np z pierwszego równania "przewalić" wszystko na prawą stronę tak żeby po lewej mi zostało samo "gołe" t i wtedy podstawić do drugiego równania. Kurde jeśli tak to kolejne zadanie, które było łatwe. Zmyliło mnie to, że mieliśmy zadania typu:
\(\displaystyle{ 2x + 3y + z = 3 + i, z \subset \CC}\) //Równanie przykładowe bo tak z głowy podałem.

I wtedy za z podstawiało się \(\displaystyle{ a + ib}\)-- 17 kwi 2016, o 20:01 --Ma ktoś pomysł na taki układ równań?
Polecenie brzmi - rozwiąż układ równań z niewiadomymi zespolonymi z oraz t.

\(\displaystyle{ w-z + 2it = 20}\)
\(\displaystyle{ w+iz-2t = 10}\)

Jedyny pomysł jaki mi wpadł do głowy to pomnożenie któregoś równania przez (-1), skrócenie jakby współczynnika w i rozwiązywanie normalnego układu równań z dwiema niewiadomymi, ale właśnie ze względu na obecność współczynnika "w" trochę mi to nie pasuje.

[dec1]

Może odejmij \(\displaystyle{ w}\) w obu równaniach i od drugiego równania odejmij pierwsze pomnożone przez \(\displaystyle{ -i}\).

[bielu000]

Próbowałem, nic z tego nie wychodzi, tylko jakieś dziwne wyniki typu:
\(\displaystyle{ iw, iz, z}\) gdzie nie można tego nijak poskracać. Próbowałem już różnych kombinacji, wymnażać to, nie wymnażać, tylko jakoś podstawiać i nic - jakieś bohomazy powstają, a nie żadne konkretne wyniki.

[Premislav]

Bez urazy, ale to może powtórz przekształcenia algebraiczne, co? Weź jakiś podręcznik do gimnazjum/liceum czy coś i przelicz trochę zadań tego typu, bo bez tego może być niezbyt wesoło. dec1 napisał Ci już, jak to można rozwiązać. Przy sprawdzaniu egzaminu nikogo to nie wzruszy, że Ci wychodzą/wyszły jakieś bohomazy.

Pokaż te swoje obliczenia, to najwyżej poprawimy.

[bielu000]

Hej, to wszystko frustracja, dużo na głowie, wyniki nie wychodzą i taki oto efekt. Nie przejmujcie się.
Obliczenia dodam jutro, bo dzisiaj już nie zdążę.
Dodam tylko, że dostałem informacje, że wyniki mogą być w postaci:
\(\displaystyle{ z = 2+3i +w}\) //Współczynniki przykładowe, chodzi o to, że "w" może być w postaci jakby nieokreślonej, a ja cały czas głowiłem się jak je obliczyć. Ale tak jak mówię, jutro dodam wszystkie obliczenia, także do innego przykładu, który rozwiązałem, ale nie wiem czy koncepcja jest dobra.

[Straznik Teksasu]

\(\displaystyle{ \cos { \frac{\pi}{5} }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}\)

[Premislav]

O, fajnie. A jak to można wyprowadzić?-- 20 kwi 2016, o 20:36 --Aj, sorry, wystarczyło poszukać:
... cos36-circ