Pierwiastki zespolone oraz układ równań
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 12 gru 2010, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Berest
- Podziękował: 2 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Cześć, miałem na kolokwium taki przykład:
\(\displaystyle{ x^{5} = 243}\)
Nie miałem na to jakiegoś pomysłu, oprócz tego, że \(\displaystyle{ \sqrt[5]{243} = 3}\)
Umiem liczyć pierwiastki poprzez liczenie modułu, kąta \(\displaystyle{ \phi}\), wykorzystywać wzory redukcyjne itp, natomiast w tym przykładzie, nie można było obliczyć jakiegoś sensownego kąta \(\displaystyle{ \phi}\) odczytać go z tablic, i zrobić resztę. Podobno trzeba było zrobić coś w stylu:
\(\displaystyle{ 360/5 = 72 \\
w_1 = 3(\cos 0 + i \sin 0)\\
w_2 = 3(\cos 72 + i \sin 72)}\)
itd.
Dlaczego właśnie tak miało być? Jak to wytłumaczyć? Czy zawsze tak się robi, jeżeli znamy chociaż jeden pierwiastek danej liczby?
I jeszcze taki układ równań.
"Rozwiąż układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ z}\)".
\(\displaystyle{ \begin{cases} (2+i)z + (2-i)t = 6 \\
(3+2i)z +(3-2i)t = 8 \end{cases}}\)
Tutaj pachnie mi trochę wzorami skróconego mnożenia. Czy może za zmienne \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ z}\) podstawiamy \(\displaystyle{ a + ib}\) i wtedy wymnażamy? Sam nie wiem - trochę się przy tym zakręciłem.
Ogólnie to jakoś nie popisałem się na tym kolokwium, chociaż przyznam szczerze że się przygotowywałem, tyle że bardziej z przykładów takich jak wyżej pisałem - gdzie przy liczeniu pierwiastków wychodziły ładne wartości które można było odczytać z tablic. Jeżeli rozwiązanie, które podałem wyżej faktycznie jest trafne to tym bardziej szkoda bo wydaje się ono proste. Jeżeli tak jest to prosiłbym o jakieś krótkie wytłumaczenie dlaczego tak można to zrobić, oraz na jakiego typu przykłady zwrócić sobie jeszcze uwagę, kiedy będę się przygotowywał do poprawy kolokwium.
\(\displaystyle{ x^{5} = 243}\)
Nie miałem na to jakiegoś pomysłu, oprócz tego, że \(\displaystyle{ \sqrt[5]{243} = 3}\)
Umiem liczyć pierwiastki poprzez liczenie modułu, kąta \(\displaystyle{ \phi}\), wykorzystywać wzory redukcyjne itp, natomiast w tym przykładzie, nie można było obliczyć jakiegoś sensownego kąta \(\displaystyle{ \phi}\) odczytać go z tablic, i zrobić resztę. Podobno trzeba było zrobić coś w stylu:
\(\displaystyle{ 360/5 = 72 \\
w_1 = 3(\cos 0 + i \sin 0)\\
w_2 = 3(\cos 72 + i \sin 72)}\)
itd.
Dlaczego właśnie tak miało być? Jak to wytłumaczyć? Czy zawsze tak się robi, jeżeli znamy chociaż jeden pierwiastek danej liczby?
I jeszcze taki układ równań.
"Rozwiąż układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ z}\)".
\(\displaystyle{ \begin{cases} (2+i)z + (2-i)t = 6 \\
(3+2i)z +(3-2i)t = 8 \end{cases}}\)
Tutaj pachnie mi trochę wzorami skróconego mnożenia. Czy może za zmienne \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ z}\) podstawiamy \(\displaystyle{ a + ib}\) i wtedy wymnażamy? Sam nie wiem - trochę się przy tym zakręciłem.
Ogólnie to jakoś nie popisałem się na tym kolokwium, chociaż przyznam szczerze że się przygotowywałem, tyle że bardziej z przykładów takich jak wyżej pisałem - gdzie przy liczeniu pierwiastków wychodziły ładne wartości które można było odczytać z tablic. Jeżeli rozwiązanie, które podałem wyżej faktycznie jest trafne to tym bardziej szkoda bo wydaje się ono proste. Jeżeli tak jest to prosiłbym o jakieś krótkie wytłumaczenie dlaczego tak można to zrobić, oraz na jakiego typu przykłady zwrócić sobie jeszcze uwagę, kiedy będę się przygotowywał do poprawy kolokwium.
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2016, o 13:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Co do pierwszej sprawy to po prostu zadanie jest słabe, bo spodziewam się, że wielu studentów, którzy to pisali i widzieli, że nie można wyliczyć sensownego argumentu kątowego (tj. takiego, który umożliwiłby powrót do postaci algebraicznej), zarzucili tę drogę (i jest to trochę nie w porządku ze strony prowadzącego/układającego zadania, chyba że zaznaczał, iż postać trygonometryczna jest akceptowana) i na tym skończę swój komentarz nt. tego przykładu.
Generalnie to jeśli \(\displaystyle{ w_{0}}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ w^{n}=z}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) to jakaś niezerowa liczba zespolona, zaś \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\), to wszystkie rozwiązania tego równania są postaci \(\displaystyle{ w_{0} \left(\cos \frac{2k \pi}{n} +i\sin \frac{2k\pi}{n}\right )}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,...n-1}\). To w tym nawiasie to pierwiastki zespolone stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\) - gdy je podniesiesz do potęgi \(\displaystyle{ n}\), to wyjdzie jeden.
Co do tego:
Generalnie to jeśli \(\displaystyle{ w_{0}}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ w^{n}=z}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) to jakaś niezerowa liczba zespolona, zaś \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\), to wszystkie rozwiązania tego równania są postaci \(\displaystyle{ w_{0} \left(\cos \frac{2k \pi}{n} +i\sin \frac{2k\pi}{n}\right )}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,...n-1}\). To w tym nawiasie to pierwiastki zespolone stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\) - gdy je podniesiesz do potęgi \(\displaystyle{ n}\), to wyjdzie jeden.
Co do tego:
wystarczy podstawić z jednego równania do drugiego np. za \(\displaystyle{ t}\), zupełnie jak w przypadku układów równań z liczbami rzeczywistymi. Można też np. pomnożyć pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ (3-2i)}\), drugie równanie przez \(\displaystyle{ i-2}\), a następnie dodać stronami, wyliczyć z tego \(\displaystyle{ z}\), a co za tym idzie również \(\displaystyle{ t}\) (podstawiamy np. do pierwszego z wyjściowych równań i mamy równanie z jedną niewiadomą) - metoda przeciwnych współczynników."Rozwiąż układ równań z niewiadomymi t i z".
\(\displaystyle{ (2+i)z + (2-i)t = 6\\
(3+2i)z +(3-2i)t = 8}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Zadanie 1.
Zadanie 2.
Rozwiązuj tak jak zwykły układ równań liniowych. Tak jak podał Premislav, albo np. stosując wzory Cramera.
Jeśli chcesz podstawiać:
Z definicji pierwiastka stopnia \(\displaystyle{ n}\) z liczby zespolonej.bielu000 pisze:Dlaczego właśnie tak miało być?
Zadanie 2.
Rozwiązuj tak jak zwykły układ równań liniowych. Tak jak podał Premislav, albo np. stosując wzory Cramera.
Jeśli chcesz podstawiać:
- \(\displaystyle{ t=a_t+b_ti\\z=a_z+b_zi}\)
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Co do twojego pierwszego pytania, kiedyś Ci pokazywałem, że pierwiastki z jedynki stopnia piątego można zinterpretować graficznie jako pięciokąt foremny. Odcinki łączące środek z wierzchołkami tego pięciokąta dzielą pięciokąt na pięć części o kątach \(\displaystyle{ 360^{\circ}/5=72^{\circ}}\)
Co do układu po prostu znajdź \(\displaystyle{ t}\) i podstaw, jak sugerowali poprzednicy, ewentualnie wzory Cramera, a może nawet eliminacja Gaussa.
Co do układu po prostu znajdź \(\displaystyle{ t}\) i podstaw, jak sugerowali poprzednicy, ewentualnie wzory Cramera, a może nawet eliminacja Gaussa.
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 12 gru 2010, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Berest
- Podziękował: 2 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Hmm szczerze mówiąc moje rozwiązanie było podobne tj. wyglądało tak:
\(\displaystyle{ W0 = 3}\)
\(\displaystyle{ W1 = 3 \left( \cos \frac{2 \pi}{5} + i \sin \frac{2 \pi}{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ W2 = W1 \left( \cos \frac{2 \pi}{5} + i \sin \frac{2 \pi}{5} \right)}\)
itd...
Dlaczego tak? Podczas nauki trafiłem gdzieś na taką informację, że znając chociaż jeden pierwiastek każde następne rozwiązanie to poprzedni pierwiastek pomnożony przez \(\displaystyle{ \left( \cos \frac{2 \pi}{n} + i \sin \frac{2 \pi}{n} \right)}\)
Czyli tak jak napisałem tam kilka linijek wyżej.
@up zgadza się, faktycznie pisałeś mi o tym w innym wątku. Widocznie jakoś to pominąłem. Hmm tylko teraz tak - pisaliście, że pierwiastki n tego stopnia z jedynki można zinterpretować graficznie. Ale czy dotyczy się to każdej innej liczby rzeczywistej?
Powiedzmy, że mam takie zadanie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{216}}\) Wiemy, że jednym pierwiastkiem będzie liczba 6. Czy w związku z tym
można zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ 360 ^{\circ} /3 = 120^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ W0 = 6 \left( \cos 0^{\circ} + i \sin 0^{\circ} \right)}\)
\(\displaystyle{ W1 = 6 \left( \cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ} \right)}\)
Co do układu równań to rozumiem, że najłatwiej zrobić metodą podstawiania - tj. np z pierwszego równania "przewalić" wszystko na prawą stronę tak żeby po lewej mi zostało samo "gołe" t i wtedy podstawić do drugiego równania. Kurde jeśli tak to kolejne zadanie, które było łatwe. Zmyliło mnie to, że mieliśmy zadania typu:
\(\displaystyle{ 2x + 3y + z = 3 + i, z \subset \CC}\) //Równanie przykładowe bo tak z głowy podałem.
I wtedy za z podstawiało się \(\displaystyle{ a + ib}\)-- 17 kwi 2016, o 20:01 --Ma ktoś pomysł na taki układ równań?
Polecenie brzmi - rozwiąż układ równań z niewiadomymi zespolonymi z oraz t.
\(\displaystyle{ w-z + 2it = 20}\)
\(\displaystyle{ w+iz-2t = 10}\)
Jedyny pomysł jaki mi wpadł do głowy to pomnożenie któregoś równania przez (-1), skrócenie jakby współczynnika w i rozwiązywanie normalnego układu równań z dwiema niewiadomymi, ale właśnie ze względu na obecność współczynnika "w" trochę mi to nie pasuje.
\(\displaystyle{ W0 = 3}\)
\(\displaystyle{ W1 = 3 \left( \cos \frac{2 \pi}{5} + i \sin \frac{2 \pi}{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ W2 = W1 \left( \cos \frac{2 \pi}{5} + i \sin \frac{2 \pi}{5} \right)}\)
itd...
Dlaczego tak? Podczas nauki trafiłem gdzieś na taką informację, że znając chociaż jeden pierwiastek każde następne rozwiązanie to poprzedni pierwiastek pomnożony przez \(\displaystyle{ \left( \cos \frac{2 \pi}{n} + i \sin \frac{2 \pi}{n} \right)}\)
Czyli tak jak napisałem tam kilka linijek wyżej.
@up zgadza się, faktycznie pisałeś mi o tym w innym wątku. Widocznie jakoś to pominąłem. Hmm tylko teraz tak - pisaliście, że pierwiastki n tego stopnia z jedynki można zinterpretować graficznie. Ale czy dotyczy się to każdej innej liczby rzeczywistej?
Powiedzmy, że mam takie zadanie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{216}}\) Wiemy, że jednym pierwiastkiem będzie liczba 6. Czy w związku z tym
można zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ 360 ^{\circ} /3 = 120^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ W0 = 6 \left( \cos 0^{\circ} + i \sin 0^{\circ} \right)}\)
\(\displaystyle{ W1 = 6 \left( \cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ} \right)}\)
Co do układu równań to rozumiem, że najłatwiej zrobić metodą podstawiania - tj. np z pierwszego równania "przewalić" wszystko na prawą stronę tak żeby po lewej mi zostało samo "gołe" t i wtedy podstawić do drugiego równania. Kurde jeśli tak to kolejne zadanie, które było łatwe. Zmyliło mnie to, że mieliśmy zadania typu:
\(\displaystyle{ 2x + 3y + z = 3 + i, z \subset \CC}\) //Równanie przykładowe bo tak z głowy podałem.
I wtedy za z podstawiało się \(\displaystyle{ a + ib}\)-- 17 kwi 2016, o 20:01 --Ma ktoś pomysł na taki układ równań?
Polecenie brzmi - rozwiąż układ równań z niewiadomymi zespolonymi z oraz t.
\(\displaystyle{ w-z + 2it = 20}\)
\(\displaystyle{ w+iz-2t = 10}\)
Jedyny pomysł jaki mi wpadł do głowy to pomnożenie któregoś równania przez (-1), skrócenie jakby współczynnika w i rozwiązywanie normalnego układu równań z dwiema niewiadomymi, ale właśnie ze względu na obecność współczynnika "w" trochę mi to nie pasuje.
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2016, o 13:51 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Może odejmij \(\displaystyle{ w}\) w obu równaniach i od drugiego równania odejmij pierwsze pomnożone przez \(\displaystyle{ -i}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 12 gru 2010, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Berest
- Podziękował: 2 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Próbowałem, nic z tego nie wychodzi, tylko jakieś dziwne wyniki typu:
\(\displaystyle{ iw, iz, z}\) gdzie nie można tego nijak poskracać. Próbowałem już różnych kombinacji, wymnażać to, nie wymnażać, tylko jakoś podstawiać i nic - jakieś bohomazy powstają, a nie żadne konkretne wyniki.
\(\displaystyle{ iw, iz, z}\) gdzie nie można tego nijak poskracać. Próbowałem już różnych kombinacji, wymnażać to, nie wymnażać, tylko jakoś podstawiać i nic - jakieś bohomazy powstają, a nie żadne konkretne wyniki.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Bez urazy, ale to może powtórz przekształcenia algebraiczne, co? Weź jakiś podręcznik do gimnazjum/liceum czy coś i przelicz trochę zadań tego typu, bo bez tego może być niezbyt wesoło. dec1 napisał Ci już, jak to można rozwiązać. Przy sprawdzaniu egzaminu nikogo to nie wzruszy, że Ci wychodzą/wyszły jakieś bohomazy.
Pokaż te swoje obliczenia, to najwyżej poprawimy.
Pokaż te swoje obliczenia, to najwyżej poprawimy.
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 12 gru 2010, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Berest
- Podziękował: 2 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
Hej, to wszystko frustracja, dużo na głowie, wyniki nie wychodzą i taki oto efekt. Nie przejmujcie się.
Obliczenia dodam jutro, bo dzisiaj już nie zdążę.
Dodam tylko, że dostałem informacje, że wyniki mogą być w postaci:
\(\displaystyle{ z = 2+3i +w}\) //Współczynniki przykładowe, chodzi o to, że "w" może być w postaci jakby nieokreślonej, a ja cały czas głowiłem się jak je obliczyć. Ale tak jak mówię, jutro dodam wszystkie obliczenia, także do innego przykładu, który rozwiązałem, ale nie wiem czy koncepcja jest dobra.
Obliczenia dodam jutro, bo dzisiaj już nie zdążę.
Dodam tylko, że dostałem informacje, że wyniki mogą być w postaci:
\(\displaystyle{ z = 2+3i +w}\) //Współczynniki przykładowe, chodzi o to, że "w" może być w postaci jakby nieokreślonej, a ja cały czas głowiłem się jak je obliczyć. Ale tak jak mówię, jutro dodam wszystkie obliczenia, także do innego przykładu, który rozwiązałem, ale nie wiem czy koncepcja jest dobra.
-
- Użytkownik
- Posty: 426
- Rejestracja: 29 paź 2015, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 90 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
\(\displaystyle{ \cos { \frac{\pi}{5} }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Pierwiastki zespolone oraz układ równań
O, fajnie. A jak to można wyprowadzić?-- 20 kwi 2016, o 20:36 --Aj, sorry, wystarczyło poszukać:
... cos36-circ
... cos36-circ