Mnożenie w ciele liczb zespolonych - intuicja

[mrCoorazy]

Witam,

W ciele liczb zespolonych działanie mnożenie definiowane jest następująco:
\(\displaystyle{ (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc)}\)
W ciele liczb rzeczywistych mamy:
\(\displaystyle{ (a,0) * (c,0) = (ac, 0)}\),
Widać, że poprzednia definicja mnożenia jest jakiś sposób bardziej 'uogólniona wersja'.

Moje pytanie brzmi: skąd bierze się to uogólnienie? jaka intucija za tym stoi?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) = a+bi}\)
\(\displaystyle{ \left( c,d\right) = c+di}\)

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) * \left( c,d\right) = \left( a+bi\right) \cdot \left( c+di\right)}\)

[dec1]

\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i}\)

[Peter Zof]

Niech \(\displaystyle{ z_1,z_2 \in \mathbb{C}}\). Jak wiadomo możemy zapisać te liczby w postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ z_1=r_1\left(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)\right)}\) oraz \(\displaystyle{ z_2=r_2\left(\cos(\beta)+i\sin(\beta)\right)}\).
Korzystając z prostych tożsamości trygonometrycznych otrzymujesz, że \(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2=r_1\cdot r_2\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)}\) co może być już dla Ciebie bardziej intuicyjne

[mrCoorazy]

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) = a+bi}\)
\(\displaystyle{ \left( c,d\right) = c+di}\)

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) * \left( c,d\right) = \left( a+bi\right) \cdot \left( c+di\right)}\)

Moim zdaniem to po prostu 'alias' na ciało w zbiorze \(\displaystyle{ R^2}\) z dwoma działaniami.

\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i}\)

To są już manipulacje na tym 'aliasie' i muszą być zgodne ze zdefiniowanym działaniem mnożenia.

Chodzi mi o sytuacje, w której nie wiemy nic o liczbach zespolonych (bo jesteśmy na etapie definiowania mnożeniaw ciele, dopiero potem możemy różne własności i "uproszczenia rachunkowe wprowadzać") i próbujemy wprowadzić jakieś działanie mnożenia w takim ciele. Pytanie dlaczego akurat takie, a nie inne? Peter Zof dał chyba najlepszą odpowiedź, że chodzi o obracanie wektorów bez wykorzystania stricte sinusów i cosinusów, które są ukryte w tle.

[a4karo]

Może na przykład z takiej obserwacji, że iloczyn i suma macierzy postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a& -b\\b& a\end{bmatrix}}\) też jest tej postaci. A to mnożenie dokładnie zgadza się z mnożeniem liczb zespolonych