O kurde to drugie rozwiązanie robi wrażenie. Na kolokwium dzisiaj miałem podobne zadanie, tj.
\(\displaystyle{ x^3 + 2x^2 + 3x +2}\)
i nie sądzę, żeby komukolwiek przyszło do głowy takie rozwiązanie. A skoro jeszcze temat jest świeży to może ktoś zaproponuje rozwiązanie czegoś takiego :
\(\displaystyle{ x^5 = 245}\)
Ja spierwiastkowałem to obustronnie pierwiastkiem piątego stopnia.
Wyszło, że \(\displaystyle{ \omega 0 = 3}\)
Następnie skorzystałem, ze wzoru że np. \(\displaystyle{ \omega 1 =3 ( cos ( \frac{2 \pi}{5}) + i sin ( \frac{2 \pi}{5}))}\)
No i problem jest tego typu, że nie można tutaj zastosować wzorów redukcyjnych, tablice oraz kalkulatory były niedozwolone, więc jak to rozwiązać? Próbując liczyć to normalnie tak jak się liczy pierwiastki zespolone, czyli moduł, kąt\(\displaystyle{ \phi}\) itd, ale to też nic nie daje.
Bo moduł z tej liczny to 243. Z tej liczby też nie można jakiegoś sensownego kąta utworzyć.
Pierwiastki zespolone wielomianów
Pierwiastki zespolone wielomianów
No to ten przykład łatwiejszy. Wątpię, żeby dawali takie zadania jak wersja 2) na testach, są długie, męczące i łatwo się pomylić.
Co do \(\displaystyle{ x^5=245=5\cdot 7\cdot 7}\):
Rozwiązań oczywiście pięć, każde będzie postaci \(\displaystyle{ 5^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}}}\) razy pierwiastki z jedynki stopnia piątego. No to trzeba je znaleźć.
Twierdzenie (właściwie hipoteza bo nie widziałem dowodu, ale sprawdziłem do \(\displaystyle{ n=7}\) i działa) pierwiastki z jedynki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia, gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzysta należą do zbioru: \(\displaystyle{ \left\{(-1)^{\frac{0}{n}},-(-1)^{\frac{1}{n}},(-1)^{\frac{2}{n}},-(-1)^{\frac{3}{n}},...,(-1)^{\frac{n-1}{n}} \right\}}\).
A więc pierwiastki z jedynki stopnia piątego należą do zbioru: \(\displaystyle{ \left\{1,-(-1)^{\frac{1}{5}},(-1)^{\frac{2}{5}},-(-1)^{\frac{3}{5}},(-1)^{\frac{4}{5}}\right\}}\).
A więc rozwiązania to: \(\displaystyle{ x \in \left\{5^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}}},-(-5)^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}},5^{\frac{1}{5}}\cdot(-7)^{\frac{2}{5}},5^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}}\cdot -(-1)^{\frac{3}{5}},5^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}}\cdot(-1)^{\frac{4}{5}}\right\}}\)
Zapewne nie miałeś jak tego znać, więc mógłbyś bawić się w rozwiązanie \(\displaystyle{ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0}\) by znaleźć pierwiastki jedynki stopnia piątego.
W ramach ciekawostki pierwiastki z jedynki stopnia \(\displaystyle{ n}\)-tego da się zaznaczyć w układzie współrzędnych rysując \(\displaystyle{ n}\)-kąt foremny, którego jeden z wierzchołków jest w punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) (gdyż \(\displaystyle{ 1}\) zawsze jest pierwiastkiem jedynki). Dla przykładu tak narysowany pięciokąt foremny:
Co do \(\displaystyle{ x^5=245=5\cdot 7\cdot 7}\):
Rozwiązań oczywiście pięć, każde będzie postaci \(\displaystyle{ 5^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}}}\) razy pierwiastki z jedynki stopnia piątego. No to trzeba je znaleźć.
Twierdzenie (właściwie hipoteza bo nie widziałem dowodu, ale sprawdziłem do \(\displaystyle{ n=7}\) i działa) pierwiastki z jedynki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia, gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzysta należą do zbioru: \(\displaystyle{ \left\{(-1)^{\frac{0}{n}},-(-1)^{\frac{1}{n}},(-1)^{\frac{2}{n}},-(-1)^{\frac{3}{n}},...,(-1)^{\frac{n-1}{n}} \right\}}\).
A więc pierwiastki z jedynki stopnia piątego należą do zbioru: \(\displaystyle{ \left\{1,-(-1)^{\frac{1}{5}},(-1)^{\frac{2}{5}},-(-1)^{\frac{3}{5}},(-1)^{\frac{4}{5}}\right\}}\).
A więc rozwiązania to: \(\displaystyle{ x \in \left\{5^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}}},-(-5)^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}},5^{\frac{1}{5}}\cdot(-7)^{\frac{2}{5}},5^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}}\cdot -(-1)^{\frac{3}{5}},5^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{2}{5}}\cdot(-1)^{\frac{4}{5}}\right\}}\)
Zapewne nie miałeś jak tego znać, więc mógłbyś bawić się w rozwiązanie \(\displaystyle{ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0}\) by znaleźć pierwiastki jedynki stopnia piątego.
W ramach ciekawostki pierwiastki z jedynki stopnia \(\displaystyle{ n}\)-tego da się zaznaczyć w układzie współrzędnych rysując \(\displaystyle{ n}\)-kąt foremny, którego jeden z wierzchołków jest w punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) (gdyż \(\displaystyle{ 1}\) zawsze jest pierwiastkiem jedynki). Dla przykładu tak narysowany pięciokąt foremny: