Pierwiastki zespolone wielomianów

[bielu000]

Cześć mam takie zadanie:
Oblicz pierwiastki zespolone wielomianów i rozłóż je na czynniki liniowe.

a) \(\displaystyle{ x^{4} +2x - 3}\)

b) \(\displaystyle{ x^{4} + x^{2} + 1}\)

O ile z wielomianami stopnia drugiego sobie radziłem o tyle w tym przypadku nie mam pomysłu.

[piasek101]

W b) podstaw \(\displaystyle{ x^2=t}\)

[edit] W a) nie było \(\displaystyle{ x^2}\) ?

[bielu000]

\(\displaystyle{ x^{4}}\) mam na kartce. A to dostaliśmy wydrukowane, więc błąd raczej wykluczam.

W b podstawiłem tak jak napisałeś i wyszło tak:
\(\displaystyle{ t^{2} + t +1 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = |i| * \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ z1 = \frac{-1 + \sqrt{3i}}{2}}\)

\(\displaystyle{ z2 = \frac{-1 - \sqrt{3i}}{2}}\)

Co dalej?

[piasek101]

b) delta to \(\displaystyle{ (-3)}\) z niej pierwiastek to \(\displaystyle{ i\sqrt 3}\) i wstawiasz do wzorów (literówki tam masz).

a) pytałem czy zamiast x-sa nie było \(\displaystyle{ x^2}\); bo w obecnej wersji widzę problemy.

[bielu000]

Kurde zgadza się, myślałem o delcie a wpisałem od razu pierwiastek z delty. Tak jak teraz patrzę na tą kartkę to w sumie mógłby być tam błąd bo np. wcześniejszy przykład wygląda tak :

\(\displaystyle{ x^{3} + 2x +3x +2}\)

Trochę bez sensu, wygląda jakby też czegoś brakowało w którymś czynniku.
A w przykładzie b, co dalej zrobić, żeby policzyć 2 kolejne pierwiastki?

[Premislav]

Policz pierwiastki zespolone drugiego stopnia z otrzymanych \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{2}}\). To, co policzyłeś, to jeszcze nie są rozwiązania wyjściowego równania.
Dodam, że pierwiastki równania \(\displaystyle{ t^{2}+t+1=0}\) powinny wyjść takie:
\(\displaystyle{ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}\) (to literówki, o których wspomniał piasek101).

[bielu000]

Hmm według mnie nasze rozwiązania zasadniczo się niczym nie różnią.

[kinia7]

\(\displaystyle{ \sqrt{3i} \neq \sqrt3i=i\sqrt3}\)

[bielu000]

To tak jeśli chodzi o pierwiastki zespolone drugiego stopnia z z1
to wyszło coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} + i \sqrt{2} }{2}}\)

oraz


\(\displaystyle{ \frac{ - \sqrt{2} - i \sqrt{2} }{2}}\)

I teraz się troszkę zamotałem bo ja już nie wiem, który zapis jest poprawny tj. ten wyżej czy taki:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{2i} }{2}}\)

oraz


\(\displaystyle{ \frac{ - \sqrt{2} - \sqrt{2i} }{2}}\)


Jeżeli wyniki się zgadzają jeśli chodzi o z1, to rozumiem, że teraz powinienem policzyć to samo dla tego z2, które wyszło z równania z tą zmienną t, tak? I to są już gotowe wyniki?

[Premislav]

Prawidłowo policzone pierwiastki drugiego stopnia z \(\displaystyle{ z_{1}= \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\) to

\(\displaystyle{ \frac{ 1 + i \sqrt{3} }{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ - 1 - i \sqrt{3} }{2}}\)

No i dla \(\displaystyle{ z_{2}}\) robisz to samo, łącznie cztery rozwiązania, tak jak powinno być zgodnie z zasadniczym tw. algebry.

[dec1]

Co do a)
\(\displaystyle{ 0=x^4+2x-3=(x-1)(x^3+x^2+x+3)}\)
No więc widzimy, że pierwszy pierwiastek to \(\displaystyle{ x_1=1}\).
Drugi czynnik to równanie sześcienne.

[bielu000]

Hmm policzyłem jeszcze raz i wszyło mi podobnie tylko bez tej dwójki w mianowniku. Masz może obliczenia, bo ciekawy jestem gdzie robię błąd.

Edit - Rozwiązałem, wyszło tak samo.

Co do a - ok rozumiem skąd ta jedynka, ale co dalej?
Metodą, którą znam, nie da się już zjechać stopień niżej z wielomianem, bo żaden z dzielników "trójki" nie wyzeruje już tego wielomianu.

[Premislav]

Nie wiem, gdzie robiłeś błąd, gdyż nie przedstawiłeś przekształceń...
\(\displaystyle{ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\cos \left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)+i\sin \left(2\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)}\). Zatem ze wzoru de Moivre'a (dzielimy argument kątowy przez \(\displaystyle{ 2}\), bo znajdujemy pierwiastki stopnia 2.) mamy
\(\displaystyle{ w_{1}=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)}\) , \(\displaystyle{ w_{2}=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)}\)
Dalej funkcje trygonometryczne to już powinieneś znać, bo to materiał szkoły średniej (wzory redukcyjne etc.).

-- 3 kwi 2016, o 03:44 --

Ten wielomian z a) jest przegięty - sprawdź, czy na pewno w zbiorze/notatkach/w tym źródle, z którego to wziąłeś, nie ma błędu lub nie popełniłeś pomyłki w przepisywaniu; przypuszczam, że nie znasz wzorów Cardana, więc dawanie czegoś takiego to przesada.

-- 3 kwi 2016, o 03:47 --

Dokładniej to gdy podzielimy argument kątowy w b), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}+k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych, z czego uzyskujemy dwa argumenty kątowe, dla których wyjdą różne liczby: np. dla k=0 i dla k=1 (bo sinus i cosinus są okresowe i mają okres główny \(\displaystyle{ 2\pi}\)).

No i tak samo można postąpić z \(\displaystyle{ z_{2}}\)

[bielu000]

Dzięki, w moje obliczenia wkradł się po prostu błąd rachunkowy, ale zrobiłem jeszcze raz i wyszło tak jak i u Ciebie. Niestety - co do przykładu a) jest dokładnie taki jak napisałem - cóż może faktycznie czegoś w nim brakuje.

Wzorów Cardana nie znam i nie przypominam sobie, żeby w ogóle coś takiego było omawiane u nas na zajęciach.

[dec1]

No cóż to rozwiążmy oba przypadki polecenia a):
1) miało być \(\displaystyle{ x^4+2x^2-3=0}\):

Ukryta treść:    

Rozkładamy:
\(\displaystyle{ x^4+2x^2-3=(x-1)(x+1)(x^2+3)=0}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ x_1=1}\) i \(\displaystyle{ x_2=-1}\).
Trzeba jeszcze rozwiązać równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ x^2+0x+3=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{0-4\cdot 1\cdot 3}=\sqrt{12}i}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{0 \pm \sqrt{12}i}{\sqrt{4}}=\pm\sqrt{3}i}\)
Rozkładamy na czynniki liniowe:
\(\displaystyle{ x^4+2x^2-3=(x-1)(x+1)(x-i\sqrt{3})(x+i\sqrt{3})}\)

2) jest dobrze:

Ukryta treść:    

Jak już mówiłem, wychodzi \(\displaystyle{ x_1=1}\) i równanie sześcienne. Rozwiążmy je:
\(\displaystyle{ x^3+x^2+x+3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4c^3a+b^2c^2+18abcd-27a^2d^2-4db^3}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4+1+54-243-12=-204}\)
Obliczmy sobie jakieś pomocnicze współczynniki:
\(\displaystyle{ f=\sqrt[3]{\frac{9abc-27da^2-2b^3+3a\sqrt{-3\Delta}}{2a^3}}}\)
\(\displaystyle{ g=\frac{3ac-b^2}{a^2}}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{b}{3a}}\)
\(\displaystyle{ f=\sqrt[3]{\frac{9-81-2+3\sqrt{612}}{2}}=\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}\)
\(\displaystyle{ g=3-1=2}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{1}{3}}\)
No i rozwiązania...:
\(\displaystyle{ x_1=\frac{f}{3}-\frac{g}{3f}-h}\)
\(\displaystyle{ x_2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{6}f+\frac{1+\sqrt{3}i}{6}\cdot\frac{g}{f}-h}\)
\(\displaystyle{ x_3=\frac{1+\sqrt{3}i}{6}f+\frac{1-\sqrt{3}i}{6}\cdot\frac{g}{f}-h}\)
\(\displaystyle{ x_1=\frac{\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}{3}-\frac{2}{3\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}-\frac{2}{\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}})-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ x_2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{6}\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}+\frac{1+\sqrt{3}i}{6}\cdot\frac{2}{\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}(1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}+\frac{1+\sqrt{3}i}{3\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ x_3=\frac{1+\sqrt{3}i}{6}\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}+\frac{1-\sqrt{3}i}{6}\cdot\frac{2}{\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}(1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}+\frac{1-\sqrt{3}i}{3\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}-\frac{1}{3}}\)
W końcu rozkładamy na czynniki liniowe:
\(\displaystyle{ x^4+2x-3=(x-1)(x-\frac{1}{3}(\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}-\frac{2}{\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}})+\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3}-\frac{1+\sqrt{3}i}{3\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}+\frac{1}{6}(1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37})(x+\frac{1}{3}-\frac{1-\sqrt{3}i}{3\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37}}+\frac{1}{6}(1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{9\sqrt{17}-37})}\)

Uff...
No więc widać, że autorom zadania raczej chodziło o wersję 1).