Witam,
Nie wiem w jaki sposób rozwiązać zadanie zgodnie z poleceniem, które brzmi:
Korzystając z działań na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej wyznaczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{12}}\).
Jestem w stanie to łatwo policzyć o tak:
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{12} = \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{3}\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3} = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\)
Ale nie wiem nawet od czego zacząć, by rozwiązać to przez postać trygonometryczną liczby zespolonej...
Wyznaczyć sinus kąta przez działania na liczbach zespolonych
Wyznaczyć sinus kąta przez działania na liczbach zespolonych
By zapisać funkcje trygonometryczne użyj sin lub cos
\(\displaystyle{ \tg\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}}\)
czyli dla \(\displaystyle{ z=a+bi}\) takiego, by \(\displaystyle{ \varphi=15^{\circ}}\) długość \(\displaystyle{ b}\) będzie wynosić:
\(\displaystyle{ b=(2-\sqrt{3})a}\).
Postać trygonometryczna liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ a+bi=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\)
przyjmując \(\displaystyle{ c=a+(2-\sqrt{3})ai}\) i \(\displaystyle{ d=\sqrt{a^2+(a(2-\sqrt{3}))^2}}\):
\(\displaystyle{ \cos\varphi+i\sin\varphi=\frac{c}{d}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\frac{c}{d}-\cos\varphi}{i}}\)
Wiedząc, że \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{12}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}\) i podstawiając \(\displaystyle{ a=1}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{\frac{1+(2-\sqrt{3})i}{\sqrt{1+(2-\sqrt{3})^2}}-\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{i}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ \tg\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}}\)
czyli dla \(\displaystyle{ z=a+bi}\) takiego, by \(\displaystyle{ \varphi=15^{\circ}}\) długość \(\displaystyle{ b}\) będzie wynosić:
\(\displaystyle{ b=(2-\sqrt{3})a}\).
Postać trygonometryczna liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ a+bi=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\)
przyjmując \(\displaystyle{ c=a+(2-\sqrt{3})ai}\) i \(\displaystyle{ d=\sqrt{a^2+(a(2-\sqrt{3}))^2}}\):
\(\displaystyle{ \cos\varphi+i\sin\varphi=\frac{c}{d}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\frac{c}{d}-\cos\varphi}{i}}\)
Wiedząc, że \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{12}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}\) i podstawiając \(\displaystyle{ a=1}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{\frac{1+(2-\sqrt{3})i}{\sqrt{1+(2-\sqrt{3})^2}}-\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{i}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)
Wyznaczyć sinus kąta przez działania na liczbach zespolonych
Zapewne istnieje prostsze rozwiązanie, które w tym momencie nie przychodzi mi do głowy. Ale tangensa można obliczyć ze wzoru \(\displaystyle{ \tg z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{(e^{iz}+e^{-iz})i}}\), pamiętać albo zajrzeć do tabel/internetu (nigdzie nie jest napisane, że nie można używać wartości innych funkcji trygonometrycznych). Musiałby udzielić się ktoś inny.
-
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 27 paź 2012, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Wyznaczyć sinus kąta przez działania na liczbach zespolonych
Czy analogicznie nie można by powiedzieć, że sinusa można policzyć z \(\displaystyle{ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)? Wtedy tangens nie był by wcale potrzeby, tylko że jakoś nie widzę jak dojść tą drogą do rozwiązania.dec1 pisze:Zapewne istnieje prostsze rozwiązanie, które w tym momencie nie przychodzi mi do głowy. Ale tangensa można obliczyć ze wzoru \(\displaystyle{ \tg z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{(e^{iz}+e^{-iz})i}}\), pamiętać albo zajrzeć do tabel/internetu (nigdzie nie jest napisane, że nie można używać wartości innych funkcji trygonometrycznych). Musiałby udzielić się ktoś inny.
Wyznaczyć sinus kąta przez działania na liczbach zespolonych
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{b}{\left| z\right| }}\)
Argument \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{12}}\) posiada np. \(\displaystyle{ 1+(2-\sqrt{3})i}\). Czyli:
\(\displaystyle{ \sin 15^\circ=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+(2-\sqrt{3})^2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)
Argument \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{12}}\) posiada np. \(\displaystyle{ 1+(2-\sqrt{3})i}\). Czyli:
\(\displaystyle{ \sin 15^\circ=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+(2-\sqrt{3})^2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Wyznaczyć sinus kąta przez działania na liczbach zespolonych
Należy to zrobić w ten sposób: niech \(\displaystyle{ a = \cos \frac{\pi}{12}, b = \sin \frac{\pi}{12}.}\) Wtedy na mocy wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ (a+bi)^2 = \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)^2 = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}.}\)
Jednocześnie \(\displaystyle{ (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi,}\) zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 - b^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 2ab = \frac{1}{2} \end{cases}}\)
Ale \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = 1,}\) więc
\(\displaystyle{ b^2 = \frac{ \left( a^2 + b^2 \right) - \left( a^2 - b^2 \right) }{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}.}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ b > 0,}\) zatem
\(\displaystyle{ b = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.}\)
W celu uproszczenia licznika zauważmy jeszcze, że
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{ \left( \sqrt{3}-1 \right)^2 } = \sqrt{3}-1,}\)
czyli
\(\displaystyle{ b = \frac{ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} }{2} = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}.}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^2 = \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)^2 = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}.}\)
Jednocześnie \(\displaystyle{ (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi,}\) zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 - b^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 2ab = \frac{1}{2} \end{cases}}\)
Ale \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = 1,}\) więc
\(\displaystyle{ b^2 = \frac{ \left( a^2 + b^2 \right) - \left( a^2 - b^2 \right) }{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}.}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ b > 0,}\) zatem
\(\displaystyle{ b = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.}\)
W celu uproszczenia licznika zauważmy jeszcze, że
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{ \left( \sqrt{3}-1 \right)^2 } = \sqrt{3}-1,}\)
czyli
\(\displaystyle{ b = \frac{ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} }{2} = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Wyznaczyć sinus kąta przez działania na liczbach zespolonych
A mnie się zdaje, że chodzi jeszcze o cos innego:
Niech \(\displaystyle{ z_1=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}\)
i
\(\displaystyle{ z_2=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2}=\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}=\frac{(1+i\sqrt{3})(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}{4}=\\\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i=\cos\frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}}\)
Niech \(\displaystyle{ z_1=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}\)
i
\(\displaystyle{ z_2=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2}=\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}=\frac{(1+i\sqrt{3})(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}{4}=\\\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i=\cos\frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}}\)