Postać wykładnicza liczby zespolonej

[mordka997]

Witajcie,mam problem z jedna rzeczą

Przedstaw w postaci wykładniczej ta liczbe:
z=\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}+i \right)^{10}}\)

Mam takie cos:
\(\displaystyle{ \left| z\right|}\) =2
\(\displaystyle{ \sin fi= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos}\) fi=\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
kąt fi= \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\)

Dochodzę do wątpliwości czy \(\displaystyle{ \sin}\) fi jest poprawny? bo w odp mam ze -\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), dlaczego tak
jak \(\displaystyle{ \sin}\) fi= \(\displaystyle{ \frac{y}{\left| z\right|}}\)?

[kinia7]

\(\displaystyle{ \sin\phi=+\frac{1}{2}}\)

[mordka997]

dziękuje za odp ,hmm w takim razie mam tak dalej :
z= \(\displaystyle{ 2^{10} *e ^{ \frac{5}{3} * \pi *i} =1024*e ^{ \frac{5}{3} * \pi *i}}\)

\(\displaystyle{ \frac{5}{3} \pi = \frac{2}{3} \pi \Rightarrow \phi= \frac{1}{3}}\) - tu zgaduje zeby bylo do 2 \(\displaystyle{ \pi}\) ?
1024*\(\displaystyle{ \left( \sin \frac{1}{3}*i+\cos\frac{1}{3} \right)}\) -Poprawne myślenie jeśli chce odczytać jaka cześć Re i Im?

[kinia7]

\(\displaystyle{ z=1024\left( i*\sin\frac{5}{3}\pi+\cos\frac{5}{3}\pi\right) =1024\left(-i* \sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}\right)=1024\left( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\right)=512-512\sqrt{3}\,i}\)