Potęga liczby zespolonej

[Narufirefox]

Mam do policzenia coś takiego
\(\displaystyle{ \frac{ (- \sqrt{3} - i )^{12} }{ (1+ \sqrt{3}i )^{4} } \cdot (1-i)^{10}}\)

No to na trzy zespolone policzyłem postacie trygonometryczne:
\(\displaystyle{ z_{1} = - \sqrt{3} - i}\)
\(\displaystyle{ z_{1} = 2(cos \frac{7 \pi }{6} + isin \frac{7 \pi }{6})}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = 1+ \sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = 2(cos \frac{ \pi }{3} + isin \frac{ \pi }{3})}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = 1-i}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = \sqrt{2}(cos \frac{7 \pi }{4} + isin \frac{7 \pi }{4})}\)

Podniosłem do potęg:
\(\displaystyle{ z_{1} = 2^{12}}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = 2^{4}( -\frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = -2 ^{5}}\)

Teraz proszę o wskazanie błędu bo po podstawieniu już do wyliczania moja odpowiedź nie zgadza się z prawidłową :/

[Premislav]

Masz bardzo typowy błąd w zapisie: powinno być \(\displaystyle{ z_{1}^{12}=2^{12}}\) i tak dalej. Poza tym to:
\(\displaystyle{ z_{2}^{4} = 2^{4}\left( -\frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i\right)}\)
na pewno nie jest prawdą. Sprawdź jeszcze raz, jak tu użyłeś wzoru de Moivre'a oraz spójrz, czy nie pomyliłeś się przy wyznaczaniu wartości funkcji dla otrzymanego po spotęgowaniu kąta.
Więcej błędów nie widzę.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ z_{2} = 2^{4}( -\frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)}\)

Na moje oko, kąt \(\displaystyle{ \frac{4\pi}3}\) leży trzeciej ćwiartce, czyli liczba \(\displaystyle{ z_2^4}\) (bo o nią chyba chodziło) powinna mieć obie współrzędne ujemne.

\(\displaystyle{ z_{3} = -2 ^{5}}\)

Tu też podobny błąd.

[Narufirefox]

Dzięki, znalazłem już błąd, źle użyłem wzoru redukcyjnego przy drugiej zespolonej