Czy można tu znaleźć kąt do post tryg bez kalkulatora?

[Anxious]

Witam,

Rozwiązuje właśnie zadanie na podnoszenie do potęgi przy pomocy Moivre'a i trafiłem na taki przykład:

\(\displaystyle{ ( \sqrt{6}- \sqrt{2}+i \cdot ( \sqrt{6}+ \sqrt{2}))^{24}}\)

Na początku oczywiście liczę moduł: \(\displaystyle{ r = 4}\)
Ale potem muszę znaleźć kąt do postaci trygonometrycznej z równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} cos\varphi = \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2}}{4} \\ sin\varphi = \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4} \end{cases}}\)

No i nie wiem, czy tu jest jakiś sposób na to, żeby znaleźć ten kąt. Oczywiście sprawdziłem sobie go z ciekawości - wynosi \(\displaystyle{ 75}\), i znając go mogę rozpisać:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = sin \frac{\pi}{4}cos \frac{\pi}{6} + sin \frac{\pi}{6}cos \frac{\pi}{4} = sin ( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = sin ( \frac{5 \pi}{12})}\)

Ale niestety bez znajomości kąta nie potrafię go znaleźć w skończonej ilości czasu. Czy jest tutaj jakiś sposób, czy to po prostu kwestia tego, żeby pamiętać wartości funkcji trygonometrycznych sumy i różnicy kątów dla których znamy wartości?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \begin{cases} cos\varphi = \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2}}{4} \\ sin\varphi = \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4} \end{cases}}\)
Mnożąc te równości stronami, otrzymujemy \(\displaystyle{ \sin \varphi \cos \varphi= \frac{1}{4}}\), a stąd (1)\(\displaystyle{ \sin 2\varphi= \frac{1}{2}}\), tj. \(\displaystyle{ 2\varphi= \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee 2\varphi= \frac{5}{6}\pi+2k\pi, k \in \ZZ}\)
Natomiast odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego, dostajemy
\(\displaystyle{ \sin \varphi-\cos \varphi= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Ale \(\displaystyle{ \sin \varpih-\cos \varphi=\sin \varphi-\sin\left( \frac{\pi}{2}-\varphi \right)=2\sin\left(\varphi- \frac{\pi}{4} \right)\cos \frac{\pi}{4}}\)
ze wzoru redukcyjnego i wzoru na różnicę sinusów.
Stąd, pamiętając, że \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), uzyskujemy
\(\displaystyle{ \sin\left( \varphi-\frac{\pi}{4} \right)= \frac{1}{2}}\), czyli (2)\(\displaystyle{ \varphi- \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee \varphi- \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}+2k\pi, k \in \ZZ}\)
Porównując (1) z (2), łatwo wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \varphi= \frac{5}{12}\pi+2k\pi}\)

[Anxious]

Patrząc, jak wymnażanie stronami ładnie się u Ciebie skróciło, wpadłem na inny pomysł jeszcze:

\(\displaystyle{ (( \sqrt{6}- \sqrt{2}+i \cdot ( \sqrt{6}+ \sqrt{2}))^{2})^{12}=8^{12} \cdot (i- \sqrt{3})^{12}}\)

Co daje już takie "klasyczne" zadanie na Moivre'a.

Ale oczywiście tutaj nie znajdujemy kąta o który pytałem, więc może po prostu źle sformułowałem pytanie.