Oblicz całki funkcji zespolonej:
a. \(\displaystyle{ \int\limits_{C} \overline{z}dz}\), po półokręgu \(\displaystyle{ C : |z| = 1, \pi qslant arg z qslant 2\pi}\), w kierunku ujemnym.
b. \(\displaystyle{ \int\limits_{C} \frac{z + 5}{z (z^{2} + 1)} \dz, C : |z - 1 - i| = 1,2}\)
Całka funkcji zespolonej
-
Kasiula@
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
Całka funkcji zespolonej
ad. a
Parametryzacja okręgu: \(\displaystyle{ z(t)=z_{0}+re^{it}}\). U Ciebie: \(\displaystyle{ z_{0}=0,r=1}\),czyli
\(\displaystyle{ z(t)=e^{it},\overline{z}(t)=e^{-it},dz=ie^{it}}\). Poniewąż całkujemy w kierunku ujemnym,więc przed całką pojawia się minus oraz \(\displaystyle{ t \in [\pi, 2\pi]}\). Zatem:
\(\displaystyle{ -\int_{C}\overline{z}dz=-\int_{\pi}^{2\pi} ie^{it}e^{-it}dt=-it|_{\pi}^{2\pi}=-i\pi}\)
ad. b
Najwygodniej jest skorzystać z wzoru całkowego Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{f(z)dz}{z-z_{0}}=2 \pi i f(z_{0})}\)
Wyznaczamy pierwiastki mianownika:\(\displaystyle{ z_{0}=i,z_{1}=-i,z_{2}=0}\)(nie są to pierwiastki licznika). Tylko punkt \(\displaystyle{ z_{0}=i}\) leży we wnątrz okręgu C. Zapiszemy więc obliczaną całkę w postaci:
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{\frac{5+z}{z(z+i)}}{z-i}dz}\)
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{5+z}{z(z+i)}}\),korzystając z wzoru Cauchy'ego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int_{C}\frac{z+5}{z(z^{2}+1)}dz=2\pi i(-\frac{1}{2}(5+i))=-\pi i(5+i)}\)
Parametryzacja okręgu: \(\displaystyle{ z(t)=z_{0}+re^{it}}\). U Ciebie: \(\displaystyle{ z_{0}=0,r=1}\),czyli
\(\displaystyle{ z(t)=e^{it},\overline{z}(t)=e^{-it},dz=ie^{it}}\). Poniewąż całkujemy w kierunku ujemnym,więc przed całką pojawia się minus oraz \(\displaystyle{ t \in [\pi, 2\pi]}\). Zatem:
\(\displaystyle{ -\int_{C}\overline{z}dz=-\int_{\pi}^{2\pi} ie^{it}e^{-it}dt=-it|_{\pi}^{2\pi}=-i\pi}\)
ad. b
Najwygodniej jest skorzystać z wzoru całkowego Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{f(z)dz}{z-z_{0}}=2 \pi i f(z_{0})}\)
Wyznaczamy pierwiastki mianownika:\(\displaystyle{ z_{0}=i,z_{1}=-i,z_{2}=0}\)(nie są to pierwiastki licznika). Tylko punkt \(\displaystyle{ z_{0}=i}\) leży we wnątrz okręgu C. Zapiszemy więc obliczaną całkę w postaci:
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{\frac{5+z}{z(z+i)}}{z-i}dz}\)
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{5+z}{z(z+i)}}\),korzystając z wzoru Cauchy'ego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int_{C}\frac{z+5}{z(z^{2}+1)}dz=2\pi i(-\frac{1}{2}(5+i))=-\pi i(5+i)}\)