Wykaż, że istnieje liczba zespolona spełniająca warunki.

[marcel0906]

Niech \(\displaystyle{ z}\) będzie liczbą zespoloną. Wykazać, że istnieją \(\displaystyle{ r \ge 0}\) i liczba zespolona \(\displaystyle{ w}\), spełniająca \(\displaystyle{ \left| w\right|=1}\) takie, że \(\displaystyle{ z=rw}\). Czy \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ r}\)są jednoznacznie określone przez \(\displaystyle{ z}\)?

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ z=a+bi, a,b \in \RR}\). Wtedy możemy wziąć \(\displaystyle{ r= \sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) oraz
\(\displaystyle{ w= \frac{a}{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }+i \frac{b}{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }}\). Uwaga: to jest możliwe pod warunkiem, że \(\displaystyle{ z\neq 0}\). Natomiast gdy \(\displaystyle{ z=0}\), to bierzemy \(\displaystyle{ r=0}\) i dowolne \(\displaystyle{ w}\), takie że \(\displaystyle{ \left| w\right|=1}\) (np. \(\displaystyle{ 1,-1, i, -i}\) etc.), więc \(\displaystyle{ w}\) nie jest jednoznacznie wyznaczone, a \(\displaystyle{ r}\) owszem.