Postać trygonometryczna liczb zespolonych.

[kedziorel]

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\)będzie miarą kąta ostrego, którego sinus jest równy \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)
Zapisz w postaci trygonometrycznej
a) \(\displaystyle{ 3+4i}\)
b) \(\displaystyle{ 4+3i}\)

Wiecie może jak to zrobić? Bo już próbowałam wszystkiego chyba...

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sqrt{3^2+4^2}= \sqrt{25}=5}\)

a)
\(\displaystyle{ 3+4i=5 \left( \frac{3}{5} +i \frac{4}{5} \right) =5\left( \sin \alpha +i \cos \alpha \right) =
5\left( \cos \left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right) +i \sin \left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right) \right)}\)
b)
\(\displaystyle{ 4+3i=5 \left( \frac{4}{5} +i \frac{3}{5} \right) =5\left( \cos \alpha +i \sin \alpha \right)}\)

[bielu000]

Czy jest jakaś możliwość odczytać wartość kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)?

Mam bardzo podobny przykład tj.
\(\displaystyle{ z = 3-4i}\)

\(\displaystyle{ |z| = 5}\)

\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{3}{5}, sin \varphi = -\frac{4}{5}}\)

Kąt leży w IV ćwiartce więc:

\(\displaystyle{ z = 5(cos (2\pi - \alpha) + isin (2\pi - \alpha))}\)

Tylko skąd teraz wziąć wartość kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) tak, żeby to sobie ładnie odjąć? Bo wartości dla tych kątów co wyszły niestety nie ma w tablicach.

[cosinus90]

Niestety albo należy odczytać przybliżoną wartość, albo zapisać w postaci funkcji odwrotnej, np. arcus cosinus dla cosinusa :

\(\displaystyle{ \varphi = -\arccos \frac{3}{5}}\)

[bielu000]

Hmm rozumiem, to trochę komplikuje sprawę.
Dziękuję.