sprytny lemat

[mol_ksiazkowy]

Dany jest skończony ciąg liczb zespolonych: \(\displaystyle{ z_1, ....,z_n}\) , wykaż ze wtenczas można sobie wybrać \(\displaystyle{ S \subset \{ 1, ...,n\}}\) t. że zachodzi (*). Dac tez przyklad, że uogólnenie na przypadek nieskoczony nie przejdzie (a moze jednak....?!). Wszelkie metody i uwagi b mile widziane. etc
(*) \(\displaystyle{ |\sum_{j \in S} z_j| \geq \frac{1}{6} \sum_{j=1}^n |z_j|}\)

Zadanie jest ze \(\displaystyle{ 101}\) Nierozwiązanych

Ukryta treść:    

szkic
Lemat o liczbach zespolonych

Niech \(\displaystyle{ C = \cup_{j=1}^{n} Q_j}\) gdzie \(\displaystyle{ Q_j}\) są „ćwiartkami obróconymi o 45 stopni”. \(\displaystyle{ A = \sum |z_j|}\) Istnieje \(\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, 3, 4 \}}\): \(\displaystyle{ z_j \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \{ z_j \ j \in S \} \subset Q_k}\) i
\(\displaystyle{ \sum_{j \in S} |z_j| \geq \frac{A}{4}}\); można założyć iż \(\displaystyle{ k= 1}\) (obrót);
gdy \(\displaystyle{ z \in S}\) to \(\displaystyle{ re(z)= |z|cos(\phi) \geq |z|cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|z|}{\sqrt{2}}}\) ; \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4} \leq \phi \leq \frac{\pi}{4}}\)

no i:
\(\displaystyle{ | \sum_{j \in S} z_j| \geq \sum_{j \in S} re(z_j) \geq \sum_{j \in S} \frac{|z_j|}{\sqrt{2}} \geq \frac{A}{4\sqrt{2}} > \frac{A}{6}}\)