nierówność z modułem liczby zespolonej

Andreas · Post autor: **Andreas** » 15 lut 2016, o 23:51

\(\displaystyle{ \left| z+1\right| <\left| z-3\right|}\)
Jak znaleźć liczby zespolone, które spełniają taką nierówność?

Czy można to zrobić graficznie?

macik1423 · Post autor: **macik1423** » 16 lut 2016, o 00:26

Rozpisz sobie \(\displaystyle{ z=x+iy}\), potem użyj modułu \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^2+y^2}}\), wyjdzie nierówność z jedną niewiadomą.

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 16 lut 2016, o 00:40

Tak. Wyrażenia w nierówności są modułami liczb zespolonych różniących się tylko częścią rzeczywistą. W układzie współrzędnych narysuj dowolną prostą \(\displaystyle{ y=a}\) równoległą do osi \(\displaystyle{ OY}\). Zaznacz na prostej punkty \(\displaystyle{ (-2;a)}\), \(\displaystyle{ (1,a)}\), \(\displaystyle{ (2,a)}\), które odpowiadają punktom \(\displaystyle{ z-3}\), \(\displaystyle{ z}\), \(\displaystyle{ z+1}\), w przypadku, gdy moduły liczb \(\displaystyle{ z-3}\) i \(\displaystyle{ z+1}\) są sobie równe. Jeśli liczbę "\(\displaystyle{ z}\)" będziemy przesuwać w lewą stronę po prostej to \(\displaystyle{ \left| z-3\right|>\left| z+1\right|}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \Re(z)<1}\)

Andreas · Post autor: **Andreas** » 16 lut 2016, o 00:44

macik1423 pisze:Rozpisz sobie \(\displaystyle{ z=x+iy}\), potem użyj modułu \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^2+y^2}}\), wyjdzie nierówność z jedną niewiadomą.

tak?
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+1)^2+y^2} < \sqrt{(x-3)^2+y^2}}\)

macik1423 · Post autor: **macik1423** » 16 lut 2016, o 01:17

a4karo · Post autor: **a4karo** » 16 lut 2016, o 06:37

Rozwiązanie podane przez macik1423 prowadzi do poprawnego wyniku, ale sprowadza zagadnienie do czystych rachunków. Tymczasem to zadanie ma sens geometryczny (który próbował wskazać Straznik Teksasu), a o którym nie można zapominać, gdy zajmujemy sie liczbami zespolonymi.

Pamiętać należy mianowicie, że liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie, a \(\displaystyle{ |a-b|}\) to po prostu odległość dwóch punktów.

Zatem zadanie w jężyku polskim (nie w języku znaczków) brzmi: znależć na płaszczyźnie zbiór takich punktów \(\displaystyle{ z}\), których odległośc od liczby \(\displaystyle{ -1}\) (czyli punktu \(\displaystyle{ (-1,0)}\)) jest mniejsza niż odległośc od \(\displaystyle{ 3}\), czyli punktu \(\displaystyle{ (3,0)}\). To juz jest elementarna geometria.

Rozwiąż podobne: znależć zbiór punktów \(\displaystyle{ z}\) dla których \(\displaystyle{ |z+i|+|z-2+3i|=25}\)