Płaszczyzna zespolona

pg2464 · Post autor: **pg2464** » 14 lut 2016, o 16:36

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej \(\displaystyle{ \left| z\right|+6iz=0}\) , ktoś ma pomys jak to zrobić ?

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 14 lut 2016, o 16:41

Niech \(\displaystyle{ z = x + yi}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|+6iz= \sqrt{x^2 + y^2 } +6i(x + yi) = \sqrt{x^2 + y^2} + 6ix -6y = 0}\)

Po prostu skorzystałem z algebraicznej postaci liczby zespolonej i z definicji modułu. Teraz masz już może pomysł jak to rozwiązać?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 lut 2016, o 16:43

Zbiór rozwiązań jest jednopunktowy. Gdybyś przerzucił \(\displaystyle{ 6iz}\) na drugą stronę i obłożył równość modułem, to dostałbyś \(\displaystyle{ \left| z\right| =6\left| z\right|}\)

pg2464 · Post autor: **pg2464** » 14 lut 2016, o 16:45

NogaWeza pisze:Niech \(\displaystyle{ z = x + yi}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|+6iz= \sqrt{x^2 + y^2 } +6i(x + yi) = \sqrt{x^2 + y^2} + 6ix -6y = 0}\)

Po prostu skorzystałem z algebraicznej postaci liczby zespolonej i z definicji modułu. Teraz masz już może pomysł jak to rozwiązać?

też do tego doszedłem, próbowałem rozwiązać tak jak równie ale x i y wyszły równe 0, więc nie wiem co dalej

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 lut 2016, o 16:45

To dobrze Ci wyszły.

pg2464 · Post autor: **pg2464** » 14 lut 2016, o 16:48

Dzięki ! nie myślałem że to będzie tak trywialne-- 14 lut 2016, o 17:20 --a z tym dalibyście rade podać jakąś wskazówke ? \(\displaystyle{ Re( \frac{z+2i}{z} ) \ge 0}\) bo mi wychodzi \(\displaystyle{ 1 \ge 0}\), czyli że zawsze jest spełnione ? ale jak to narysować i formalnie zapisać ?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 lut 2016, o 17:30

Nie wykazałeś się należytą ostrożnością. Jeśli np. \(\displaystyle{ z=i}\), to \(\displaystyle{ \Re \left( \frac{z+2i}{z} \right)\neq 1}\). Dla \(\displaystyle{ z\neq 0}\) mamy
\(\displaystyle{ \Re \left( \frac{z+2i}{z} \right)=1+2\Re\left( \frac{z}{i} \right)=1+2 \Im (z)}\) i dalej bez problemu sobie poradzisz.-- 14 lut 2016, o 17:33 --Gdybyś nie wiedział, skąd się coś wzięło, to zapytaj.

pg2464 · Post autor: **pg2464** » 14 lut 2016, o 17:42

Premislav pisze:Nie wykazałeś się należytą ostrożnością. Jeśli np. \(\displaystyle{ z=i}\), to \(\displaystyle{ \Re \left( \frac{z+2i}{z} \right)\neq 1}\). Dla \(\displaystyle{ z\neq 0}\) mamy
\(\displaystyle{ \Re \left( \frac{z+2i}{z} \right)=1+2\Re\left( \frac{z}{i} \right)=1+2 \Im (z)}\) i dalej bez problemu sobie poradzisz.

-- 14 lut 2016, o 17:33 --

Gdybyś nie wiedział, skąd się coś wzięło, to zapytaj.

nie rozumiem tego przejścia z Re na Im ? i wyszło mi \(\displaystyle{ y \ge - \frac{1}{2}}\) ,tylko ze wolfram pokazuje cos innego, nie wiem czy to mój błąd

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 lut 2016, o 18:29

Nie wiem, co wypisuje wolfram, ale ja w nim takich zadań nie sprawdzam.
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy,}\) oczywiście \(\displaystyle{ x =\Re(z), y=\Im(z)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \Re\left( \frac{z}{i} \right) =\Re\left( \frac{x+iy}{i} \right)=\Re\left( -ix+y\right)=y=\Im(z)}\)

Post autor: **Dasio11** » 16 lut 2016, o 23:33

Premislav pisze:\(\displaystyle{ \Re \left( \frac{z+2i}{z} \right)=1+2\Re\left( \frac{z}{i} \right)}\)

Nope. Licznik zamienił się z mianownikiem.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 17 lut 2016, o 14:27

O rany. No to już przesada, żeby tak się kompromitować.-- 17 lut 2016, o 14:34 --Powinno być tak:
\(\displaystyle{ \Re \left( \frac{z+2i}{z}\right)=\Re\left( 1+ \frac{2i}{z} \right)=1+\Re\left( \frac{2i}{z} \right)=1+ \frac{2}{\left| z\right|^{2} }\Re\left(i\overline z \right)=1+ \frac{2\Im(z)}{\left| z\right|^{2} }}\). Gdy \(\displaystyle{ z=x+iy}\), to nierówność ta jest równoważna
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+2y \ge 0}\), przy czym nie może być \(\displaystyle{ x=y=0}\) (z uwagi na dziedzinę
\(\displaystyle{ \Re \left( \frac{z+2i}{z}\right)}\)).
Czyli otrzymujemy dopełnienie koła na płaszczyźnie zespolonej o środku w \(\displaystyle{ (0,-1)=-i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\) bez punktu \(\displaystyle{ 0}\).