Postać trygonometryczna

[szawlo]

\(\displaystyle{ z^3=(-2+2 \sqrt{3}i)\overline{z}}\)
Mam takie zadanie i nie za bardzo chce mi to wyjść. Bardzo proszę o pomoc.

[Premislav]

Dość wygodna byłaby zamiana na postać trygonometryczną. Po drodze przyda się wzór de Moivre'a.

-- 10 lut 2016, o 21:53 --

Można najpierw pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ z}\) i wykorzystać tożsamość \(\displaystyle{ z\overline z=\left| z\right|^{2}}\).

[szawlo]

Zrobiłem tak i przy liczeniu \(\displaystyle{ cos}\) i \(\displaystyle{ sin}\) wyszly dziwne pierwiastki. Teraz nie wiem czy się gdzies pomylilem, czy tego nie da sie rozwiązać za pomocą postaci trygonometrycznej.

[Premislav]

nie da sie

To jest moje ulubione zdanie, kiedy długo próbuję udowodnić jakieś twierdzenie, ale to tak nie działa. Podobnie tutaj się da.

Gotowiec:    

\(\displaystyle{ z^3=(-2+2 \sqrt{3}i)\overline{z}\\z^{4}=\left| z\right|^{2}(-2+2\sqrt{3}i)\\ r^{4}(\cos 4\alpha+i\sin 4\alpha)=4r^{2}\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3} \right)}\)
Widzimy, że dla \(\displaystyle{ r=0}\) równość zachodzi (to daje rozwiązanie \(\displaystyle{ z=0}\)), a dalej dzielimy stronami i mamy
\(\displaystyle{ r^{2}(\cos 4\alpha+i\sin 4\alpha)=4\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3} \right)}\)
Z przyrównania modułów i tych cosinusów/sinusów mamy \(\displaystyle{ r=2}\) oraz \(\displaystyle{ 4\alpha= \frac{2}{3}\pi+2k\pi, k \in \ZZ}\). Podsumowując, rozwiązania są następujące:
\(\displaystyle{ z=0 \vee z=2\left(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin \frac{\pi}{6} \right) \vee z=2\left(\cos \frac{2\pi}{3} +i\sin \frac{2\pi}{3} \right)\vee z=2\left( \cos \frac{7\pi}{6} +i\sin \frac{7\pi}{6} \right) \vee z= \\=2\left( \cos \frac{5\pi}{3} +i\sin \frac{5\pi}{3} \right)}\).
Zamień sobie to na algebraiczną.

Skorzystałem ze wspomnianej tożsamości i wzoru de Moivre'a:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre%E2%80%99a

-- 10 lut 2016, o 22:18 --

Aha, w zasadzie to nie powinno się mnożyć przez \(\displaystyle{ z}\), dopóki nie rozważyliśmy \(\displaystyle{ z=0}\), bo tak, to można by "pokazać", że wszystkie liczby są równe, ale tutaj odbyło się to bez komplikacji.