Pierwiastki liczby zespolonej

Dzonzi · Post autor: **Dzonzi** » 10 lut 2016, o 18:41

Mam takie coś:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{(2-3i) ^{4} }}\) i mam obliczyć wszystkie elementy zbioru.
od razu widać
\(\displaystyle{ W _{0} = 2-3i}\)

A jak resztę policzyć? Wiem, że był jakiś wzoru do takich zadań wykorzystujący rozwiązanie \(\displaystyle{ W _{0}}\), ale nie mogę sobie przypomnieć, ani znaleźć.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 10 lut 2016, o 18:48

Pozostałe pierwiastki możesz znaleźć, mnożąc \(\displaystyle{ W_{0}}\) przez te pierwiastki zespolone czwartego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), które nie są równe \(\displaystyle{ 1.}\)
Te pierwiastki będą postaci \(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{4}+i\sin \frac{2k\pi}{4}, k=1,2,3}\) (bo jedynki nie potrzebujesz). Czyli
\(\displaystyle{ W_{1}=W_{0}\cdot(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2})}\) etc.

Dzonzi · Post autor: **Dzonzi** » 10 lut 2016, o 18:50

jak takie coś się mnoży?

-- 10 lut 2016, o 18:52 --

Premislav · Post autor: **Premislav** » 10 lut 2016, o 20:57

Możesz przejść na postać algebraiczną i pomnożyć zupełnie na pałkę. Można też przedstawić \(\displaystyle{ W_{0}}\) w postaci trygonometrycznej, następnie skorzystać z tego, że argument kątowy iloczynu to suma argumentów kątowych czynników, ale potem i tak pewnie będziemy zamieniać na postać algebraiczną, więc moim zdaniem lepiej wybrać pierwszy sposób.
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i}\) etc. Trzeba znać odrobinę trygonometrii.-- 10 lut 2016, o 21:05 --Albo nie trzeba, bo można inaczej policzyć te pierwiastki czwartego stopnia:
\(\displaystyle{ z^{4}=1 \Leftrightarrow (z^{2}-1)(z^{2}+1)=0 \Leftrightarrow (z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=0}\)
W ogólności jednak trygonometria jest nieodzowna przy zadaniach z liczb zespolonych poza specjalnie dobranymi przykładami.