Pierwiastki z liczby zespolonej

[janushem]

Siemanko. Byłby ktoś w stanie na szybko rozwalić mi dwa pierwsze zadania ? Kolosa mam za dosłownie kilka godzin, a nie ogarniam w ogóle tego zagadnienia...

[Peter Zof]

\(\displaystyle{ 1+i=\sqrt{2}\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)}\), z tego mamy, że

\(\displaystyle{ cos( heta)=frac{sqrt{2}}{2} wedge sin( heta) = frac{sqrt{2}}{2} wedge heta in [0,2pi)}\).

Tak więc \(\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{4}}\).

Jak wiadomo \(\displaystyle{ \left(|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n=|z|^n\left(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right)}\), dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)

Teraz pozostaje Ci już tylko podstawić do wzoru i masz wynik. Droga rozwiązania problemu w dużej mierze zależy też od tego w jakiej postaci należy podać wynik końcowy.

[janushem]

UWr ? Stawiam wielkie piwo jeśli pomożesz mi dokończyć to zadanie.. mam nóż na gardle, egzamin z chemii i jeszcze ta algebra, fizycznie nie jest możliwe bym się wyrobił, dlatego zechciej, proszę

[Peter Zof]

Po prostu podstawiasz \(\displaystyle{ n=13}\),

\(\displaystyle{ \left(1+i\right)^{13}=\left(\sqrt{2}\right)^{13}\left(\cos\left(\frac{13\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{13\pi}{4}\right)\right)=64\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-64-64i}\)