Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Korzystając z postaci trygonometrycznej (lub wykładniczej) liczb zespolonych rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ z^{3}=(-2+2 \sqrt{3}i)\overline{z}}\)
Wszystko byłoby proste gdyby nie było pomnożone przez to sprzężenie, przekształciłbym w postać trygonometryczną, wziąłbym moduł z tego co w nawiasie, ale co z tym sprzężeniem zrobić?
Pierwiastek z równania pomnożonego przez sprzężenie
-
goldengamer
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 5 sty 2013, o 22:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Pierwiastek z równania pomnożonego przez sprzężenie
Podpowiedź: jeśli \(\displaystyle{ arg(z) = \alpha + 2k \pi}\) to \(\displaystyle{ arg ( \overline{z} ) = - \alpha + 2k \pi}\). Taki wniosek można łatwo patrząc na geometryczną interpretację argumentu oraz sprzężenia liczby zespolonej, ale jakby coś było niejasne to mów. Potem możesz przekształcić w postać trygonometryczną lub wykładniczą i dokończyć.
-
goldengamer
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 5 sty 2013, o 22:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Pierwiastek z równania pomnożonego przez sprzężenie
Czyli zamieniam to na postać wykładniczą, obliczam r=2, obliczam kąt \(\displaystyle{ \varphi= \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}k}\) a następnie obliczam pierwiastki:
\(\displaystyle{ z _{0} = 2 e^{\frac{\pi}{6}i} = \sqrt{3} +i}\)
\(\displaystyle{ z _{1} = 2 e^{\frac{2\pi}{3}i} = -1+\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = 2 e^{\frac{5\pi}{3}i} = 1-\sqrt{3}i}\)
Dobre mam te wyniki?
\(\displaystyle{ z _{0} = 2 e^{\frac{\pi}{6}i} = \sqrt{3} +i}\)
\(\displaystyle{ z _{1} = 2 e^{\frac{2\pi}{3}i} = -1+\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = 2 e^{\frac{5\pi}{3}i} = 1-\sqrt{3}i}\)
Dobre mam te wyniki?
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Pierwiastek z równania pomnożonego przez sprzężenie
Wygląda na to, że część się zgadza, ale trochę też zgubiłaś. Nie sugeruj się tym, że mamy tutaj \(\displaystyle{ z}\) w trzeciej potędze. To wcale nie znaczy, że rozwiązania będą trzy, bo na przykład \(\displaystyle{ z=0}\) również spełnia to równanie.
Oto jak ja bym zaczął.
\(\displaystyle{ -2 + 2 \sqrt{3} i = 4e^{\frac{2 \pi}{3} i }}\) - tego nie tłumaczę
\(\displaystyle{ z^3 =\left( r \cdot e^{\alpha i}\right)^3 = r^3 e^{3 \alpha i}}\) - tutaj \(\displaystyle{ r}\) oznacza moduł
\(\displaystyle{ \overline{z} = r \cdot e^{-\alpha i}}\)
Zauważ, że tutaj nigdzie nie pisałem \(\displaystyle{ 2k \pi}\), bo nie uznałem tego za konieczne, ale oczywiście mógłbym. Oczywiście \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\). Teraz przy przekształcaniu nie ma to jakiegoś większego znaczenia i można sobie to swobodnie pominąć, ale będzie miało znaczenie, gdy będziemy już działać na naszym zadanym równaniu i porównywać argumenty. Wtedy zapomnienie o \(\displaystyle{ 2k \pi}\) może nas kosztować utratę rozwiązań.
\(\displaystyle{ z^3 = \left( -2 + 2 \sqrt{3} i\right)\overline{z}}\)
\(\displaystyle{ r^3 e^{3 \alpha i} = 4e^{\frac{2 \pi}{3} i } \cdot r e^{-\alpha i}}\)
\(\displaystyle{ r^3 e^{3 \alpha i} = 4r e^{\frac{2 \pi}{3} i } \cdot e^{-\alpha i} = 4r e^{\frac{2 \pi}{3} i -\alpha i }}\)
\(\displaystyle{ r^3 e^{3 \alpha i} = 4r e^{\left( \frac{2 \pi}{3} -\alpha\right) i }}\)
I teraz aby lewa strona była równa prawej musi zachodzić równość modułów oraz argumentów, mamy dwa warunki:
1. \(\displaystyle{ r^3 = 4r}\)
2. \(\displaystyle{ 3 \alpha = \frac{2}{3} \pi - \alpha + 2k \pi}\)
Stąd widać, że argument wyszedł Ci dobry. No ale z pierwszego warunku dostajesz \(\displaystyle{ r = 2 \vee r = 0}\) - tutaj zgubiłaś właśnie to rozwiązanie o którym mówiłem wcześniej. Poza nim brakuje chyba jeszcze jednego, bo jeśli się nie mylę to wyjdzie ich pięć.
Oto jak ja bym zaczął.
\(\displaystyle{ -2 + 2 \sqrt{3} i = 4e^{\frac{2 \pi}{3} i }}\) - tego nie tłumaczę
\(\displaystyle{ z^3 =\left( r \cdot e^{\alpha i}\right)^3 = r^3 e^{3 \alpha i}}\) - tutaj \(\displaystyle{ r}\) oznacza moduł
\(\displaystyle{ \overline{z} = r \cdot e^{-\alpha i}}\)
Zauważ, że tutaj nigdzie nie pisałem \(\displaystyle{ 2k \pi}\), bo nie uznałem tego za konieczne, ale oczywiście mógłbym. Oczywiście \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\). Teraz przy przekształcaniu nie ma to jakiegoś większego znaczenia i można sobie to swobodnie pominąć, ale będzie miało znaczenie, gdy będziemy już działać na naszym zadanym równaniu i porównywać argumenty. Wtedy zapomnienie o \(\displaystyle{ 2k \pi}\) może nas kosztować utratę rozwiązań.
\(\displaystyle{ z^3 = \left( -2 + 2 \sqrt{3} i\right)\overline{z}}\)
\(\displaystyle{ r^3 e^{3 \alpha i} = 4e^{\frac{2 \pi}{3} i } \cdot r e^{-\alpha i}}\)
\(\displaystyle{ r^3 e^{3 \alpha i} = 4r e^{\frac{2 \pi}{3} i } \cdot e^{-\alpha i} = 4r e^{\frac{2 \pi}{3} i -\alpha i }}\)
\(\displaystyle{ r^3 e^{3 \alpha i} = 4r e^{\left( \frac{2 \pi}{3} -\alpha\right) i }}\)
I teraz aby lewa strona była równa prawej musi zachodzić równość modułów oraz argumentów, mamy dwa warunki:
1. \(\displaystyle{ r^3 = 4r}\)
2. \(\displaystyle{ 3 \alpha = \frac{2}{3} \pi - \alpha + 2k \pi}\)
Stąd widać, że argument wyszedł Ci dobry. No ale z pierwszego warunku dostajesz \(\displaystyle{ r = 2 \vee r = 0}\) - tutaj zgubiłaś właśnie to rozwiązanie o którym mówiłem wcześniej. Poza nim brakuje chyba jeszcze jednego, bo jeśli się nie mylę to wyjdzie ich pięć.