pierwiastki a współczynniki.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
barbados
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 11 maja 2015, o 13:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 37 razy

pierwiastki a współczynniki.

Post autor: barbados »

Wiedząc , że \(\displaystyle{ z _{1}=1+3i}\) oraz \(\displaystyle{ z_{2}=-2-1}\) sa pierwiastkami wielomianu stopnia czwartego o współczynnikach rzeczywistych, znalezc współczynniki \(\displaystyle{ a_{n}(n=0,1,2,3,4)}\)tego wielomianu. Sformułować twierdzenie z którego trzeba skorzystać.

Proszę o pomoc z tym zadaniem.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

pierwiastki a współczynniki.

Post autor: Dasio11 »

Znasz jakieś twierdzenia o pierwiastkach zespolonych wielomianów o współczynnikach rzeczywistych?
barbados
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 11 maja 2015, o 13:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 37 razy

pierwiastki a współczynniki.

Post autor: barbados »

własnie nie bardzo nawet wiem z czego skorzystać, mam w książce liczenie pierwiastków ale tzw jest podane np oblicz pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt{-2i}}\) i takie jest tam wyjasnione , ale nie wiem jak zrobic cos typu tego co podalem w 1 poscie.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

pierwiastki a współczynniki.

Post autor: Dasio11 »

Chodzi o to twierdzenie: załóżmy, że \(\displaystyle{ z \in \CC}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(z)}\) o współczynnikach rzeczywistych. Wtedy \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ w(z).}\)

Skorzystanie z tego twierdzenia pozwala wypisać wszystkie cztery pierwiastki \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, z_4}\) wielomianu, o którym mowa w treści zadania, z czego wynika jego rozkład

\(\displaystyle{ w(z) = a(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4).}\)

Zadanie jest niedobrze sformułowane, bo stałej \(\displaystyle{ a}\) nie można wyznaczyć, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ a = 1.}\) Widzisz, jak teraz wyliczyć współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ w}\) ?
barbados
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 11 maja 2015, o 13:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 37 razy

pierwiastki a współczynniki.

Post autor: barbados »

o dziekuje, chyba rozumiem
wielomian przyjmie postać:
\(\displaystyle{ w(z)=(z-1-3i)(z+2+i)(z-1+3i)(z+2-i)}\)teraz wystarczy wymnozyc i podac wspolczynniki zgadza sie?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

pierwiastki a współczynniki.

Post autor: Dasio11 »

Tak.
ODPOWIEDZ