Optymalizacja na liczbach zespolonych

snake_90 · Post autor: **snake_90** » 1 lut 2016, o 22:03

Witam, mam do rozwiązania problem optymalizacyjny z wykorzystaniem liczb zespolonych. Problem wygląda w ten sposób, że mam funkcję \(\displaystyle{ I(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą rzeczywistą \(\displaystyle{ \ge0}\) , natomiast rozwiązaniem funkcji jest liczba zespolona. Mam znaleźć taką zmienną (korzystając z solvera lub matlaba), dla której funkcja przyjmie konkretną wartość \(\displaystyle{ I'}\), np. \(\displaystyle{ -1-j}\). Analitycznie jest to proste do rozwiązania, podstawia się konkretną wartość i otrzymujemy zmienną. Natomiast tutaj trzeba skorzystać z minimalizacji lub maksymalizacji funkcji. Problemem jest jak określić poprawnie funkcję celu, którą ewentualnie będzie można minimalizować.

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 2 lut 2016, o 08:00

Funkcją celu może być odległość między szukanym rozwiązaniem a otrzymanym rozwiązaniem w danej iteracji. Wtedy algorytm minimalizacji takiej funkcji będzie prowadził do coraz dokładniejszego rozwiązania (o ile będzie stabilny).

snake_90 · Post autor: **snake_90** » 2 lut 2016, o 17:25

No właśnie, według mnie funkcją celu powinno być \(\displaystyle{ f(x)=\left| I'-I\right|}\), wtedy mamy moduł liczby zespolonej (która jest wektorem a w zasadzie odległością między dwoma punktami) czyli odległość między wartością zadaną a obliczoną. Minimalizując tą funkcję otrzymamy 0 kiedy obie wartości są równe. Natomiast kiedy przedstawiłem taki sposób określenia funkcji celu otrzymałem odpowiedź od wykładowcy, że funkcja celu jest sformułowana niepoprawnie, bez żadnych słów wyjaśnień i szczerze mówiąc nie mam pomysłu co dalej. Może macie jeszcze jakieś sugestie? Wiem też, że osoby mające zadanie na liczbach rzeczywistych mają skorzystać z metody najmniejszych kwadratów. Nie do końca rozumiem w jaki sposób, gdyż przeważnie służy ona od określenia wzoru funkcji dla posiadanych punktów pomiarowych.

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 2 lut 2016, o 19:43

Jeszcze przychodzi mi do głowy takie sformułowanie:

\(\displaystyle{ f(x)=(\Re{I'}-\Re{I})+(\Im{I'}-\Im{I})}\)

Mniejsza złożoność obliczeniowa i do takiego samego celu prowadzi co poprzednia.

snake_90 · Post autor: **snake_90** » 2 lut 2016, o 22:29

No tak ale żeby minimalizować funkcję moim zdaniem musi ona być skalarem a nie wektorem. Czyli trzeba policzyć moduł otrzymanej liczby zespolonej. Jestem ciekawy tylko czy zna ktoś inne rozwiązanie niż to, gdyż jak wspomniałem wykładowca twierdzi, że taka funkcja celu jest błędnie sformułowana.

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 3 lut 2016, o 00:05

Przecież poprzednio napisana funkcja jest skalarem - sumą różnicy między wartościami rzeczywistymi oraz różnicy między wartościami urojonymi!

Przyszedł mi do głowy trzeci sposób:

\(\displaystyle{ f(x)=(|I'|-|I|)+(\arg(I')-\arg(I))}\) czyli suma różnicy modułów liczb oraz różnicy argumentów liczb.

snake_90 · Post autor: **snake_90** » 3 lut 2016, o 21:40

Fakt nie zwróciłem dobrze uwagi, że są tam liczby pozbawione "i". W każdym bądź razie funkcja celu sprowadza się tak czy inaczej do tego samego rozwiązania, o którym myślałem od początku. No nic będę walczył dalej może wykładowca ulegnie i przyjmie takie rozwiązanie. Póki co dzięki za pomoc, ale jeśli ktoś wpadnie na coś innego chętnie poczytam.