Witam mam następujące zadanie, którego nie potrafię rozwiązać.
Znajdź na płaszczyźnie zespolonej położenie liczb spełniających warunek \(\displaystyle{ \Im \frac{1}{z} = 1}\)
Próbowałem znaleźć czym jest Im i nie udało mi się.
płaszczyzna zespolona warunek im(1/z)=1
-
bugifromkorea
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 lis 2015, o 16:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
płaszczyzna zespolona warunek im(1/z)=1
\(\displaystyle{ Im \left( \frac{1}{z} \right) =1 \\
Im \left( \frac{z ^{*} }{zz ^{*} } \right) =1 \\
Im \left( \frac{z ^{*} }{\left| z\right|^2 } \right) =1 \\
\frac{-y}{x^2+y^2}=1 \\
-y=x^2+y^2 \\
x^2+(y+ \frac{1}{2} )^2= \frac{1}{4}}\)
co jest okręgiem na płaszczyźnie zespolonej
Im \left( \frac{z ^{*} }{zz ^{*} } \right) =1 \\
Im \left( \frac{z ^{*} }{\left| z\right|^2 } \right) =1 \\
\frac{-y}{x^2+y^2}=1 \\
-y=x^2+y^2 \\
x^2+(y+ \frac{1}{2} )^2= \frac{1}{4}}\)
co jest okręgiem na płaszczyźnie zespolonej
Re: płaszczyzna zespolona warunek im(1/z)=1
Właśnie uczę się na egzamin z algebry. Mam bardzo podobny przykład u mnie na kartce. Pozwól, że zajmę się dokładną analizą mojego a sam dojdziesz jak zrobić swój przykład na podstawie tego wzoru.
Założenie początkowe:
Im(1/z) = 1/2
Podstawowe pytanie: z czego składa się liczba zespolona?
z = a + bi
gdzie:
z - liczba
a - część rzeczywista (rez)
b - część urojona (imz)
W zadaniu mamy do czynienia z częścią urojoną liczby odwrotnej czyli 1/z, która jest równa 1/2 .
Znajdźmy zatem liczbę 1/z:
1/z = 1/(a + bi)
Uprośćmy trochę to wyrażenie by dostać wyrażenie typu
jakaś_część_rzeczywista + jakaś_część_urojona*i
1/z = 1/(a + bi) // Mnożymy razy (a - bi) prawą stronę (#wzory skróconego mnożenia)
1/z = (a - bi) / (a^2 - b^2 * i^2) // Wiemy, że i^2 = -1
1/z = (a - bi) / (a^2 + b^2) // Zauważmy, że w mianowniku mamy moduł |z| do kwadratu
1/z = (a - bi) / |z|^2 // Po odpowiednim przekształceniu otrzymujemy:
1/z = a/|z|^2 - (b/|z|^2)*i
Zatem część urojona naszej liczby 1/z to:
Im(1/z) = -b/|z|^2 // Pamiętamy jednak, że |z|^2 = a^2 + b^2
Im(1/z) = -b / (a^2 + b^2)
Skoro Im(1/z) ma być równe 1/2 to podstawmy to:
1/2 = -b / (a^2 + b^2)
a^2 + b^2 = -2b
a^2 + b^2 -2b = 0
a^2 + (b-1)^2 - 1 = 0
a^2 + (b-1)^2 = 1
Wyszło nam więc faktycznie równanie koła. Teraz, na podstawie końcowego równania prosto jest określić jego promień i środek - wszystkie potrzebne parametry do jego opisania.
Są to już informacje jakie bez problemu można znaleźć w internecie. Sam tylko napiszę ile one wynoszą dla tego przypadku:
Współrzędne środka koła: (0, 1)
Promień koła = 1
Tak? Czyli wszystkie punkty, które leżą na tym kole będą naszym rozwiązaniem.
To mój pierwszy komentarz na tej stronie, więc nie wiem jak korzystać z tych wszystkich pomocnych narzędzi nadających większy komfort czytaniu dlatego proszę o wyrozumiałość, jeżeli chodzi o sposób zapisu przykładu.
Założenie początkowe:
Im(1/z) = 1/2
Podstawowe pytanie: z czego składa się liczba zespolona?
z = a + bi
gdzie:
z - liczba
a - część rzeczywista (rez)
b - część urojona (imz)
W zadaniu mamy do czynienia z częścią urojoną liczby odwrotnej czyli 1/z, która jest równa 1/2 .
Znajdźmy zatem liczbę 1/z:
1/z = 1/(a + bi)
Uprośćmy trochę to wyrażenie by dostać wyrażenie typu
jakaś_część_rzeczywista + jakaś_część_urojona*i
1/z = 1/(a + bi) // Mnożymy razy (a - bi) prawą stronę (#wzory skróconego mnożenia)
1/z = (a - bi) / (a^2 - b^2 * i^2) // Wiemy, że i^2 = -1
1/z = (a - bi) / (a^2 + b^2) // Zauważmy, że w mianowniku mamy moduł |z| do kwadratu
1/z = (a - bi) / |z|^2 // Po odpowiednim przekształceniu otrzymujemy:
1/z = a/|z|^2 - (b/|z|^2)*i
Zatem część urojona naszej liczby 1/z to:
Im(1/z) = -b/|z|^2 // Pamiętamy jednak, że |z|^2 = a^2 + b^2
Im(1/z) = -b / (a^2 + b^2)
Skoro Im(1/z) ma być równe 1/2 to podstawmy to:
1/2 = -b / (a^2 + b^2)
a^2 + b^2 = -2b
a^2 + b^2 -2b = 0
a^2 + (b-1)^2 - 1 = 0
a^2 + (b-1)^2 = 1
Wyszło nam więc faktycznie równanie koła. Teraz, na podstawie końcowego równania prosto jest określić jego promień i środek - wszystkie potrzebne parametry do jego opisania.
Są to już informacje jakie bez problemu można znaleźć w internecie. Sam tylko napiszę ile one wynoszą dla tego przypadku:
Współrzędne środka koła: (0, 1)
Promień koła = 1
Tak? Czyli wszystkie punkty, które leżą na tym kole będą naszym rozwiązaniem.
To mój pierwszy komentarz na tej stronie, więc nie wiem jak korzystać z tych wszystkich pomocnych narzędzi nadających większy komfort czytaniu dlatego proszę o wyrozumiałość, jeżeli chodzi o sposób zapisu przykładu.