Narysuj zbiór

[Sebaj]

Witam wszystkich forumowiczów! To mój pierwszy post na stronie

Mam problem z pewnym zadaniem: Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór:

\(\displaystyle{ z ^{3} =( \sqrt{2} - i \sqrt{3} ) ^{3}}\)

Próbowałem ze wzoru de Moivre'a lecz przy sprowadzaniu do postaci trygonometrycznej nie umiem obliczyć kąta, natomiast gdy normalnie podnoszę do ^3 to dochodzę do układu:

\(\displaystyle{ x ^{3} - 3xy ^{2} =-7 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 3x ^{2} y - y ^{3} =-3 \sqrt{3}}\) i dalej nie ruszę

Bardzo proszę Was o pomoc.

[Dasio11]

Wskazówka: potrafisz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ w^3 = 1}\) ?

[Sebaj]

Tak, potrafię. Wychodzi:
\(\displaystyle{ w _{0} = 1}\)
\(\displaystyle{ w _{1} = - \frac{1}{2} + i \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ w _{2} = 1}\)

Ale nie wiem co dalej...

[Dasio11]

Jeden pierwiastek wypisałeś dwukrotnie.

Twoje równanie można przekształcić do

\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{\sqrt{2} - i \sqrt{3}} \right)^3 = 1.}\)

Jeśli więc rozwiążesz równanie \(\displaystyle{ w^3 = 1,}\) otrzymując

\(\displaystyle{ w^3 = 1 \iff w = w_1 \vee w = w_2 \vee w = w_3,}\)

to wtedy rozwiązaniem twojego równania będzie

\(\displaystyle{ \frac{z}{\sqrt{2} - i \sqrt{3}} = w_1 \vee \frac{z}{\sqrt{2} - i \sqrt{3}} = w_2 \vee \frac{z}{\sqrt{2} - i \sqrt{3}} = w_3.}\)