wielomian z liczbami zespolonymi

[Patrycja_Jasica]

Zadanie z wielomianów
Niech \(\displaystyle{ f=X^2Y^2+X^2Z^2+Y^2Z^2\in\mathbb{Z}[X,Y,Z]}\). Obliczyć \(\displaystyle{ f(z_1,z_2,z_3)}\), gdzie \(\displaystyle{ z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3+ix^2+1=0}\).
Głównie chodzi mi o te pierwiastki, bo liczyłam je już na wiele sposobów, ale nie chcą wyjść ;( z góry dziękuję za odpowiedź!

[Premislav]

A może nie o to chodzi, by explicite wyliczać te pierwiastki? Ja proponuję nieśmiertelne wzory Viete'a dla wielomianu - w tym wypadku - trzeciego stopnia.
I czy na pewno \(\displaystyle{ f}\) dokładnie tak wygląda, a nie z \(\displaystyle{ Y}\) w kwadracie? Bo tak to będzie trochę nieprzyjemnie, o ile nie pominąłem czegoś.

[Patrycja_Jasica]

sorry, rzeczywiście się pomyliłam

[Premislav]

No to wystarczy rozpisać:
\(\displaystyle{ X^2Y^2+X^2Z^2+Y^2Z^2=(XY+XZ+YZ)^{2}-2XYZ(X+Y+Z)}\) i Viete dla tego wielomianu z brzydkimi współczynnikami.

[Poszukujaca]

Premislav, świetny myk!
A tutaj są wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia wraz z dowodem https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=1246

[Patrycja_Jasica]

a jak rozpisać coś takiego \(\displaystyle{ X^3Y^3+X^3Z^3+Y^3Z^3}\), żeby móc skorzystać ze wzorów Viet'a?
Próbowałam użyć do tego \(\displaystyle{ (a+b+c)^3}\), ale nie chce mi wyjść