Równanie zespolone

[PatrycjaMycha]

Proszę o pomoc przy takim równaniu.

Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ (z-1)^{3} = (1+2i)^{3}}\)

[Premislav]

Podstawmy \(\displaystyle{ w=z-1}\) i mamy \(\displaystyle{ w^{3}=(1+2i)^{3}}\). Nietrudno zauważyć, że równanie jest spełnione, gdy \(\displaystyle{ w=w_{0}=1+2i}\), a pozostałe rozwiązania uzyskasz, mnożąc w_{0} przez pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ 3.}\) stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) nierówne \(\displaystyle{ 1}\) (tj. \(\displaystyle{ \cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}}\)).
Potem wracasz z podstawieniem \(\displaystyle{ w=z-1}\).
Alternatywne podejście: przerzucasz wszystko na jedną stronę i używasz wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. Potem drugi nawias rozkładasz, np. licząc wyznacznik i pierwiastki trójmianu.