przedstawienie w postaci trygonometrycznej

[timus221]

Mógłbym prosic i sprawdzenie,z góry bardzo dziękuję.

Przedstaw w postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2}-i \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^ \left( -2 \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) +i\sin \left( \pi+ \frac{\pi}{3} \right) \right)}\) //// Bo w 3 cwiartce cos i sin ujemne

Po uwzglednieniu potęgi

\(\displaystyle{ \left( \cos \left( -\frac{8}{3}\pi \right) +i\sin \left( -\frac{8}{3}\pi \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( 2\pi+ \frac{2}{3}\pi \right) -i\sin \left( 2\pi+ \frac{2}{3}\pi \right)}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{2}{3}\pi \right) -i\sin \left( \frac{2}{3}\pi \right) \right)}\)

I w tej postaci mozna juz zostawic ?

[kerajs]

Działania są poprawne, ale wyrażenia nie mogą sobie ,,fruwać' na kartce.

Tak byłoby lepiej:
\(\displaystyle{ (-\frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2})^{-2}=\left[ \cos (\pi + \frac{\pi}{3})+i \sin(\pi+ \frac{\pi}{3})\right] ^{-2}=\cos ( -\frac{8}{3}\pi )+i \sin(-\frac{8}{3}\pi)=}\)
\(\displaystyle{ =\cos (2\pi+ \frac{2}{3}\pi)-i \sin(2\pi+ \frac{2}{3}\pi )=\cos( \frac{2}{3}\pi)-i \sin( \frac{2}{3}\pi)}\)
Wynik możesz pozostawić w dowolnej postaci, o ile treść zadania tego nie uściślała.

[timus221]

Ok dziekuję bardzo,a jeszcze tylko takie :

\(\displaystyle{ 1-\cos (x)-i\sin (x)}\)

\(\displaystyle{ 1- \left( 1-2\sin ^2 \frac{x}{2} \right) -i \left( 2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \right) = \\[1ex]
= 2\sin ^2 \frac{x}{2}-i \cdot \left( 2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \right) = \\[1ex]
= 2\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2}-i\cos \frac{x}{2} \right)}\)

i teraz :

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}+ \frac{x}{2} \right) + i\sin \left( \frac{\pi}{2}+ \frac{x}{2} \right) \right) = \\[1ex]
= 2\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \cos \frac{x}{2}+i\sin \frac{x}{2} \right)}\)

czy

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2}+ \frac{x}{2} \right) +i\sin \left( \frac{3\pi}{2}+ \frac{x}{2} \right) \right)}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2}-i \cos \frac{x}{2} \right) =-2\sin \frac{x}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}+ \frac{x}{2} \right) +i \sin \left( \frac{\pi}{2}+ \frac{x}{2} \right) \right) =\\=2\sin \frac{x}{2} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2}+ \frac{x}{2} \right) +i\sin \left( \frac{3\pi}{2}+ \frac{x}{2} \right) \right)}\)