Wykaż że: \(\displaystyle{ e^{z} \neq 0}\)
Czy poniższy dowód jest poprawny?
\(\displaystyle{ e^{z} = e^{x}e^{iy}\\
e^{x}e^{iy} = 0 \Rightarrow e^{x}=0 \vee \cos y + i\sin y = 0\\
e^{x} = 0 \Rightarrow x \neq 0 \wedge e = 0^{ \frac{1}{x} } \\
\cos y + i\sin y = 0 \Rightarrow i\sin y -\sin \left( y - \frac{ \pi }{2} \right) = 0}\)
Niezerowość funkcji wykładniczej
-
Gavan
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 21 lis 2015, o 00:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ziemia
- Podziękował: 3 razy
Niezerowość funkcji wykładniczej
Ostatnio zmieniony 8 sty 2016, o 01:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu. Nowa linia w LaTeXu to \\. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Nieregulaminowa nazwa tematu. Nowa linia w LaTeXu to \\. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Niezerowość funkcji wykładniczej
A skąd wiesz, czy \(\displaystyle{ e^{a+b} = e^a e^b}\) (korzystasz z tej własności w pierwszej linijce)? Istnieje inny, dużo prostszy dowód.
Najpierw pokaż, że \(\displaystyle{ e^0 = 1}\), a potem, że \(\displaystyle{ e^{a+b} = e^{a}e^{b}}\). Wtedy wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ e^z e^{-z} = e^0 = 1}\), więc żadna z wielkości po lewej stronie nie może być zerem.
Najpierw pokaż, że \(\displaystyle{ e^0 = 1}\), a potem, że \(\displaystyle{ e^{a+b} = e^{a}e^{b}}\). Wtedy wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ e^z e^{-z} = e^0 = 1}\), więc żadna z wielkości po lewej stronie nie może być zerem.