Liczby zespolone - równania.

[snq]

Cześć,

mam problem i kilka pytań jeśli chodzi o równania liczb zespolonych...

w pierwszym zadaniu muszę znaleźć wszystkie liczby zespolone, które są rozwiązaniami równania, i tak:

1)
\(\displaystyle{ a^{2} = -8 + 6i}\)

dochodzę do tego momentu (jeśli źle to proszę poprawcie mnie):
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2} - b^{2} = -3 \\ 2ab = 4 \end{cases}}\)

i teraz nie mam pojęcia jak to ugryźć...


2)

\(\displaystyle{ 5z - 2z - 7Re z + Im z + |3 + 4i| = 1 - 5i}\)

powinno być tak:

\(\displaystyle{ 5( a + bi) - 2(a-bi) - 7a +bi +3 + 4i = 1-5i}\)

czy może:

\(\displaystyle{ 5( a + bi) - 2(a-bi) - 7a +bi +9 + \sqrt{4^{2} i^{2}} = 1-5i}\)

z racji tego, iż |3 +4i| to moduł liczby zespolonej..?

3)

No i trzecie pytanie, nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, postać algebraiczną potrafie przekształcić na postać trygonometryczną liczby zespolonej ale z tym to nie mam pojęcia co zrobić...

\(\displaystyle{ z = 2(cos \frac{ \pi }{7} + isin \frac{ \pi }{7})^{21}}\)


Bardzo proszę o pomoc jakąś dobrą, mądrą duszyczkę
Pozdrawiam

[cosinus90]

1. Na wstępie - niefortunnie dobierasz oznaczenia literowe. Skoro \(\displaystyle{ a}\) oznacza liczbę zespoloną, to nie możesz jej zamienić do postaci \(\displaystyle{ a=a+bi}\), zrób np. \(\displaystyle{ a=x+yi}\). Kolejna sprawa - nie wiem dlaczego dostajesz akurat takie liczby jak \(\displaystyle{ -3}\) oraz \(\displaystyle{ 4}\) po prawych stronach równań, wyjaśnij to jeśli możesz. A ogólnie takie układy najłatwiej rozwiązuje się przez wyznaczenie z drugiego równania jednej z niewiadomych i podstawienia jej do pierwszego równania

2. Nie wiem dlaczego masz \(\displaystyle{ a-bi}\) w drugim nawiasie, chyba że to ma być sprzężenie liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\). Co do poprawności wersji, żadna nie jest prawidłowa, przypomnij sobie jak się liczy moduł liczby zespolonej.

3. Należy tu zastosować wzór de Moivre'a na potęgę liczby zespolonej (przynajmniej tak mniemam, bo nie napisałeś polecenia). Sprawdź jeszcze, czy poprawnie zapisałeś całe wyrażenie i czy nie powinno być jeszcze jednego nawiasu obejmującego je.

[jmb]

Cześć,

1)
\(\displaystyle{ a^{2} = -8 + 6i}\)

dochodzę do tego momentu (jeśli źle to proszę poprawcie mnie):
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2} - b^{2} = -3 \\ 2ab = 4 \end{cases}}\)

i teraz nie mam pojęcia jak to ugryźć...

Zdaje się, że w tym przypadku \(\displaystyle{ a}\) oznacza liczbę zespoloną. W dalszej kolejności używasz symbolu \(\displaystyle{ a}\) do oznaczenia części rzeczywistej liczby liczby \(\displaystyle{ a}\). A to nie to samo!

Poza tym układ równań, który Ci wyszedł, obarczony jest błędem rachunkowym. Trzeba to jeszcze raz przeliczyć.
Tak czy siak dostajesz układ równań z dwiema niewiadomymi, możesz go rozwiązać na wiele sposobów. Jeśli nie przychodzi Ci jakiś zmyślny sposób z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia, to rozwiąż go po prostu przez podstawienie: z drugiego równania jedną z niewiadomych wyznaczasz i podstawiasz do pierwszego itd. Zakładam, że umiesz rozwiązywać równania kwadratowe i dwukwadratowe.

W zadaniu drugim zdecydowanie moduł, ale i tak źle policzyłeś ów moduł.

[snq]

1.


Sorrki, źle przepisałem, powinno być tak:

\(\displaystyle{ z^{2} = -8 + 6i}\)

i z tego wychodzi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2} - b^{2} = -8\\ 2ab =6 \end{cases}}\)

no i wyznaczam sobie z drugiego równania b, czyli jeśli nie jestem już totalnym głąbem to powinno wyjść:

\(\displaystyle{ b = \frac{3}{a}}\)

podstawiam do pierwszego równania i tutaj już nie wiem bo mam ...

\(\displaystyle{ a^{2} - ( \frac{3}{a} )^ {2} = -8}\)

No i tu już nie wiem...


2. Tak, to ma być sprzężenie liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\). Hmmm... czyli powinno być tak?:
\(\displaystyle{ 5( a + bi) - 2(a-bi) - 7a +bi +9 + \sqrt{4^{2} + i^{2}} = 1-5i}\)

3.

Wyrażenie przepisałem dobrze, jest tylko ten jeden nawias, a polecenie brzmi : oblicz część rzeczywistą i urojoną liczby:.
Czyli tutaj będzie wzór de Moivre'a?

[jmb]

1. Podnieś do kwadratu ułamek normalnie, pomnóż całe równanie przez \(\displaystyle{ a^2}\)

2. W dalszym ciągu źle liczysz moduł, sprawdź w podręczniku, jaki jest wzór na moduł i policz poprawnie.
Poza tym Imz to nie jest bi, tylko b...

-- 7 sty 2016, o 11:36 --

W zadaniu 3 owszem, wzór de Moivre'a.
Ten wzór pozwala na łatwe podnoszenie liczby zespolonej do pewnej potęgi.
To co w nawiasie, jest pewną liczbą zespoloną podniesioną do potęgi. Wzór zastosuj do rzeczonego nawiasu. Potem wstaw wynik do wyjściowego równania.

[snq]

1. No i coś chyba źle licze, bo wyszło mi po przemnożeniu tak:

\(\displaystyle{ a^{4} + 9 = -8 a^{2}}\)

No i przerzucam niewiadome na jedna ..

\(\displaystyle{ a^{4} + 8 a^{2} = -9}\)

No i przecież tak nie może być...


2. Wiem!
\(\displaystyle{ 5( a + bi) - 2(a-bi) - 7a +bi +9 + \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 1-5i}\)

Hm?

[jmb]

1. A widzisz różnicę pomiędzy:
\(\displaystyle{ -(x)^2}\)
a
\(\displaystyle{ (-x)^2}\)
???

2. Sprawdź w podręczniku, co to jest Imz

[snq]

1. Oki,
no to wyszła taka postać:

\(\displaystyle{ a^{4} +8 a^{2} = 9}\)

wyciągnałem \(\displaystyle{ a^{2}}\) przed nawias :

\(\displaystyle{ a^{2} ( a^{2} + 8) = 9}\)


No i z tego mi wyszły 4 możliwości \(\displaystyle{ a}\) , czyli \(\displaystyle{ 1 , -1, 3, -3}\)

Czyli teraz musze podstawiać wszystko po kolei i wyliczać \(\displaystyle{ b}\) i na koniec wypisać każdą kombinację? Czyli \(\displaystyle{ z = a_{1} + b_{1}i}\) Itd...?

2.

Imz jest to część urojona liczby \(\displaystyle{ z}\), czyli przepisać ją bez \(\displaystyle{ i}\)?


Czyli będzie:

\(\displaystyle{ 5( a + bi) - 2(a-bi) - 7a +b +9 + \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 1-5i}\)

[jmb]

1. wyniki 3 i -3 nie działają. Równanie rozwiązałeś przez zgadywanie:) Dalej już tak, jak napisałeś.
2. Tak, bez i. Ale skąd wzięło się 9 przed pierwiastkiem?

[snq]

1. Dlaczego nie działają? I nie rozumiem co znaczy, że rozwiązałem przez zgadywanie?


2. No tak, bez 9 będzie...
\(\displaystyle{ 5( a + bi) - 2(a-bi) - 7a +b + \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 1-5i}\)


Kurde i coś nie idzie....

\(\displaystyle{ 5a + 5bi - 2a + 2bi - 7a + b + 5 = 1 - 5i

-4a + 7bi + b + 5 = 1-5i

\begin{cases} -4a + b + 5 = 1 \\ 7b = -5 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ -4a - \frac{5}{7} + 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ -4a = 1 - 5 + \frac{5}{7}}\)
\(\displaystyle{ -4a = -3 \frac{2}{7}}\)


Pomocy...

[jmb]

1. liczby 3 i -3 nie są rozwiązaniami równania. Jeśli podstawisz te liczby do równania, to przekonasz się, że nie spełniają równania.
2. Sprawdź na wszelki wypadek rachunki, jeśli nie ma błędu, to koniec zadania.