Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną a następnie oblicz.
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-i}}\)
I drugi przykład.
Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną a następnie wykonaj potęgowanie.
\(\displaystyle{ (-1 -i)^{6}}\)
Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną
-
studiatakieciezkie
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 6 sty 2016, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną
1.
\(\displaystyle{ -i=\cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2}}\)
Dla pierwiastkowania wygodnym jest uwzględnienie okresowości w postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ -i=\cos \left( \frac {3 \pi }{2}+k2 \pi\right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{2}+k2 \pi\right) \ , \ k \in C}\) ( całkowitych)
\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-i}= \left[ \cos \left( \frac {3 \pi }{2}+k2 \pi\right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{2}+k2 \pi\right)\right] ^{ \frac{1}{4} } =\cos \left( \frac {3 \pi }{8}+k \frac{ \pi }{2} \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}+k \frac{ \pi }{2}\right)}}\)
W zależności od k masz cztery rozwiązania:
\(\displaystyle{ z_0=\cos \left( \frac {3 \pi }{8} \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}\right)}}\)
\(\displaystyle{ z_1=\cos \left( \frac {3 \pi }{8}+ \frac{ \pi }{2} \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}+ \frac{ \pi }{2}\right)}}\)
\(\displaystyle{ z_2=\cos \left( \frac {3 \pi }{8}+ \pi \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}+\pi\right)}}\)
\(\displaystyle{ z_3=\cos \left( \frac {3 \pi }{8}+ \frac{ 3\pi }{2} \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}+k \frac{ 3\pi }{2}\right)}}\)
2.
\(\displaystyle{ \left( -1-i\right)^6 =\left[ \sqrt{2} \left( \cos \frac{5 \pi }{4} +i \sin \frac{5 \pi }{4}\right) \right]^6 =8 \left( \cos \frac{15 \pi }{2} +i \sin \frac{15 \pi }{2}\right)=\\=8 \left( \cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2}\right)=-i8}\)
To elementarne zadania z liczb zespolonych. Bez umiejętności ich samodzielnego rozwiązania szanse na pozytywną ocenę z kolokwium/ zaliczenia/egzaminu są niewielkie.
\(\displaystyle{ -i=\cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2}}\)
Dla pierwiastkowania wygodnym jest uwzględnienie okresowości w postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ -i=\cos \left( \frac {3 \pi }{2}+k2 \pi\right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{2}+k2 \pi\right) \ , \ k \in C}\) ( całkowitych)
\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-i}= \left[ \cos \left( \frac {3 \pi }{2}+k2 \pi\right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{2}+k2 \pi\right)\right] ^{ \frac{1}{4} } =\cos \left( \frac {3 \pi }{8}+k \frac{ \pi }{2} \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}+k \frac{ \pi }{2}\right)}}\)
W zależności od k masz cztery rozwiązania:
\(\displaystyle{ z_0=\cos \left( \frac {3 \pi }{8} \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}\right)}}\)
\(\displaystyle{ z_1=\cos \left( \frac {3 \pi }{8}+ \frac{ \pi }{2} \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}+ \frac{ \pi }{2}\right)}}\)
\(\displaystyle{ z_2=\cos \left( \frac {3 \pi }{8}+ \pi \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}+\pi\right)}}\)
\(\displaystyle{ z_3=\cos \left( \frac {3 \pi }{8}+ \frac{ 3\pi }{2} \right) +i \sin \left( \frac {3 \pi }{8}+k \frac{ 3\pi }{2}\right)}}\)
2.
\(\displaystyle{ \left( -1-i\right)^6 =\left[ \sqrt{2} \left( \cos \frac{5 \pi }{4} +i \sin \frac{5 \pi }{4}\right) \right]^6 =8 \left( \cos \frac{15 \pi }{2} +i \sin \frac{15 \pi }{2}\right)=\\=8 \left( \cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2}\right)=-i8}\)
To elementarne zadania z liczb zespolonych. Bez umiejętności ich samodzielnego rozwiązania szanse na pozytywną ocenę z kolokwium/ zaliczenia/egzaminu są niewielkie.