Argument liczby zespolonej

[go_no]

Jak obliczyć \(\displaystyle{ \alpha :
\begin{cases} \cos \alpha = \frac{2 \sqrt{3} -2}{4 \sqrt{2} } \\[1ex] \sin \alpha = \frac{2 \sqrt{3} +2}{4 \sqrt{2} } \end{cases} ?}\)
Wynik to \(\displaystyle{ \frac{5}{12} \pi}\)

[a4karo]

1 stwierdzić w której ćwiartce jest kąt.
2 obliczyć \(\displaystyle{ \sin 2\alpha}\)

[go_no]

Tylko wtedy wychodzi wynik
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{12}
\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{2 \sqrt{3}-2 }{4 \sqrt{2} } \cdot \frac{2 \sqrt{3}+2 }{4 \sqrt{2} } = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}

\sin 2 \alpha =\sin \frac{ \pi }{6}
\alpha = \frac{ \pi }{12}}\)

[Straznik Teksasu]

\(\displaystyle{ \sin(2\alpha)=\sin( \frac{\pi}{6} )=\sin( \frac{5\pi}{6} )= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\alpha=\frac{\pi}{6}}\) lub \(\displaystyle{ 2\alpha=\frac{5\pi}{6}}\)
Popatrz na wykres sinusa (\(\displaystyle{ 2\alpha}\) może zawierać też się w drugiej ćwiartce, aby \(\displaystyle{ \alpha}\) było w pierwszej). Dlatego masz 2 rozwiązania.
Tylko 1 z nich spełnia nierówność \(\displaystyle{ \sin(\alpha)>\cos(\alpha)}\)