brzydki kąt

[pag15]

Znajdź pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej z :

\(\displaystyle{ Z = 8 + 6i , n = 2}\)

Dochodze do sytuacji gdzie:

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{4}{5} \\[1ex]
\sin x = \frac{3}{5}}\)
A gdy wyznaczam ten kąt, wychodzi brzydki wynik i nic z tym nie moge zrobic.

[Premislav]

Męczył mnie kiedyś podobny przykład na pierwszym roku i wreszcie zapisałem to zużyciem arcusa tangensa, po czym odpuściłem.
Dużo efektywniej jest w tym wypadku zauważyć, że \(\displaystyle{ 8+6i=(3+i)^{2}=(-3-i)^{2}}\)
tylko że ten sposób nie może być uznany za uniwersalny - czasem się zwinie, a czasem nie.

-- 10 gru 2015, o 00:55 --

Gdy masz do policzenia pierwiastki na tyle niskiego stopnia (np. \(\displaystyle{ 2,3}\)) i nie wychodzi ładny argument kątowy, to można bądź to zapisać na pałę \(\displaystyle{ z=a+bi}\), podnieść do takiej potęgi, jak stopień pierwiastka i przyrównać część rzeczywistą i urojoną z odpowiednimi częściami pierwiastkowanej liczby, bądź
zgadnąć jeden pierwiastek \(\displaystyle{ z_{0}}\), a wówczas pozostałe będą iloczynami \(\displaystyle{ z_{0}}\) z pierwiastkami zespolonymi danego stopnia (tj. takiego, jak stopień pierwiastkowania) z \(\displaystyle{ 1}\) różnymi od \(\displaystyle{ 1}\).

[Straznik Teksasu]

\(\displaystyle{ z=10( \frac{4}{5}+i \frac{3}{5})=10(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))=10(\cos(\alpha+2k\pi)+i\sin(\alpha+2k\pi))}\)

gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,...}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[2]{z} = \sqrt{10} \left( \cos \left( \frac{\alpha+2k\pi}{2} \right) +i\sin \left( \frac{\alpha+2k\pi}{2} \right) \right) =}\)

\(\displaystyle{ z_{1}=\sqrt{10} \left( \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) +i\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ z_{2}=\sqrt{10} \left( \cos \left( \frac{\alpha}{2}+\pi \right) +i\sin \left( \frac{\alpha}{2}+\pi \right) \right) = -\sqrt{10} \left( \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) +i\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \right)}\)
(wykorzystując wzory redukcyjne)

Następnie korzystasz ze wzorów na sinus i cosinus połówki katów. Tym sposobem możesz wyznaczać też kąty dzielone przez 4, 8, 16,..., ale tutaj też nieraz musisz korzystać ze wzorów na sinus/cosinus sumy katów (w przypadku wielokrotności tych kątów)

Jeśli masz kąt dzielony przez 3 to korzystasz ze wzoru na sinus/cosinus potrójnego kąta, ale tutaj jest o wiele trudniej bo musisz rozwiązać równanie wielomianowe 3-stopnia.

Pomysł Przemislav-a dla pierwiastów 2-stopnia jest szybszy, bo od razu masz wynik. Aby łatwiej było zobaczyć taki myk to skorzystaj z tożsamości pierwiastkowych (wzór z rozdziału 2.4.1)
... astkow.pdf

Dla pierwiastków innych stopni to ja już sposobów nie znam (i chyba ich nie ma).