Równanie zespolone .

[sh1n]

Równanie zespolone :
\(\displaystyle{ |z-4| = |z|}\)

Robię tak :
\(\displaystyle{ |x-iy-4 \right| = |x-iy| \\[1ex]
\sqrt{(x-4)^2+y^2} = \sqrt{x^2+y^2}/ ()^2 \\[1ex]
(x-4)^2+y^2 = x^2 + y^2 \\[1ex]
x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + y^2 \\[1ex]
-8x + 16 = 0 \\[1ex]
x = 2}\)

czyli \(\displaystyle{ z = 2 + iy}\)?

Oraz jak mogę w sposób formalny zapisać \(\displaystyle{ |\arg z| < \frac{ \pi }{3}}\) ?
Miałem pomysł po prostu rozbić z modułu na dwie nierówności i wiedząc że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} = 45 ^\circ}\) ograniczyć płaszczyznę dwiema prostymi , ale powiedziano mi że to mało formalny sposób a na inny sposób nie wpadłem , proszę o sugestię gdzie mógłbym poszukać odpowiedzi .

[szw1710]

Równanie \(\displaystyle{ |z-4|=|z|}\) mówi, że odległość \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ 4}\) jest taka sama jak odległość \(\displaystyle{ z}\) od zera. Warunek ten spełniają te i tylko te punkty, które leżą na symetralnej odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 4}\), więc punkty postaci \(\displaystyle{ z=2+bi}\), gdzie \(\displaystyle{ b\in\RR}\).

Dobrze rozwiązałeś.

[sh1n]

jakaś podpowiedź do nierówności z argumentem głównym ?

[szw1710]

Masz \(\displaystyle{ \arg z=\arctg\frac{y}{x}}\) przy \(\displaystyle{ z=x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ x\ne 0}\). Więc stąd po obłożnieu tangensem wyprowadzisz ,,formalnie' to co potrzebujesz.

[sh1n]

można prosić o chociaż początek zapisu jak to powinno wyglądać bo kompletnie nie wiem jak się za to zabrac ;/

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy, przy \(\displaystyle{ x\ne 0}\), jest \(\displaystyle{ \arg z=\arctg\frac{y}{x}}\). Zapisz żądaną nierówność i ją rozwiąż.

[sh1n]

np.

\(\displaystyle{ \arctan \frac{ y }{x} < \frac{\pi}{3} \\[1ex]
\tg \frac{\pi}{3} < \frac{y}{x} \\[1ex]
\sqrt{3} < \frac{y}{x} \\[1ex]
y > x\sqrt{3}}\)

tak powinno to wyglądać ? Czy z takiej postaci mógłbym sprawdzić czy np pierwiastek z=2+i należy do tej płaszczyzny jeśli to samo wykonałbym dla \(\displaystyle{ \arctan \frac{y}{x} > -\frac {\pi}{3}}\) ?

[szw1710]

Źle rozwiązujesz tę nierówność.

[sh1n]

można prosić o wskazówkę gdzie błąd ?

[szw1710]

W przejściu z pierwszej linii do drugiej. Jak to się obkłada tangensem?

[sh1n]

niestety chyba nie jestem w stanie na to wpaść , pomimo kilku podejść ;/

[szw1710]

Błąd tkwi nie w liczbach zespolonych, lecz w sposobie rozwiązywania nierówności z arcus tangensem. Dobrej nocy.