suma pierwiastków liczby zespolonej

adrion23 · Post autor: **adrion23** » 8 gru 2015, o 00:49

Mam obliczyć sumę pierwiastków piątego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=7 - 5i}\). Sprowadzenie do postaci trygonometrycznej, nic nie da. Wiem, że trzeba zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego. Ale nie potrafię tego zrobić. Mógłby mi ktoś pomóc.

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 8 gru 2015, o 00:57

Masz \(\displaystyle{ z^5 = 7 - 5i}\), czyli \(\displaystyle{ z^5 + 5i - 7 = 0}\). Próbowałeś wykorzystać wzory Viete'a?

adrion23 · Post autor: **adrion23** » 8 gru 2015, o 09:23

Podniosłeś liczbę zespolona do potęgi piątej z lewej strony. A z prawej \(\displaystyle{ 7-5i}\) nie. Dlatego uważam że zastosowanie wzoru vieta będzie błędem. To trzeba obliczyć wzorem gausa na sumę ciągu geometrycznego. Sprowadzenie do liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej/wykladniczej nie da nic , ponieważ mamy nie fajny moduł. Tutaj poniżej , jest nie udana próba zrobienia tego zadania z ciągiem.

Kod: Zaznacz cały

http://wmirepo.xyz/Algebra_liniowa_A1/Algebra_liniowa_A1_-_Kartkowka_08_-_2010-2011_zimowy.jpg

Pozdrawiam. Dziękuję z góry za pomoc.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 8 gru 2015, o 10:05

Dlatego uważam że zastosowanie wzoru vieta będzie błędem.

Nie będzie błędem, będzie poprawnym sposobem na rozwiązanie tego zadania.

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 8 gru 2015, o 10:18

adrion23, poczytaj jak definiuje się pierwiastek algebraiczny.

adrion23 · Post autor: **adrion23** » 8 gru 2015, o 11:30

A z sumą, wiecie jak to zrobić? Wykładowca opisywał na ciągu geometrycznym sumę pierwiastków przez co. Oczekuje takiego rozwiązania na kartkówce. Dlatego tak się upieram przy tym sposobie.

Post autor: **Dasio11** » 8 gru 2015, o 23:19

Niech \(\displaystyle{ w}\) będzie którymś pierwiastkiem \(\displaystyle{ 5}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 7 - 5i}\) oraz niech \(\displaystyle{ \varepsilon = e^{\frac{2 \pi i}{5}}}\) (pierwiastek pierwotny \(\displaystyle{ 5}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\)). Wtedy wszystkie pierwiastki wyrażają się wzorami:

\(\displaystyle{ w_k = w \cdot \varepsilon^k}\) dla \(\displaystyle{ k = 0, 1, 2, 3, 4.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ w_0 + w_1 + w_2 + w_3 + w_4 = w \cdot \left[ 1 + \varepsilon + \varepsilon^2 + \varepsilon^3 + \varepsilon^4 \right] = w \cdot \frac{1-\varepsilon^5}{1-\varepsilon}.}\)

Ale \(\displaystyle{ \varepsilon^5 = 1,}\) więc ta suma wynosi \(\displaystyle{ 0.}\)

Rozwiązanie używające wzorów Viete'a też jest poprawne, a nawet trochę sprytniejsze.