\(\displaystyle{ 8z^{3}=(1-i \sqrt{3} )^{3}}\)
Poprawiłem zapis. luka52
Wyznaczyć pierwiastki równania
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Wyznaczyć pierwiastki równania
\(\displaystyle{ z=\frac{(1-i \sqrt{3} )}{2}w}\)
tj
\(\displaystyle{ w^3=1}\)
etc
tj
\(\displaystyle{ w^3=1}\)
etc
-
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
Wyznaczyć pierwiastki równania
Jest kilka metod rozwiazywania takich rownan,np. odgadnac jeden z pierwiastkow i pozostale znajdzie sie z odpowiedniego wzoru,czyli:
Mamy równanie:
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1}{8}(1-\sqrt{3})^{3}}\)
Łatwo odgadnac,ze jednym z pierwiastkow będzie:
\(\displaystyle{ z_{0}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})}\)
Pozostale pierwiastki znajdziemy,z wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}=z_{0}(\cos(\frac{2k\pi}{3})+i\sin(\frac{2k\pi}{3}))}\),gdzie k=1,2
Czyli:
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= -1}\)
Można tez "standardowo" (jest tu mala potega)
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1}{8}(1-\sqrt{3})^{3}=\frac{1}{8}*(-8)=-1}\)
i tu skorzystac ze wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[3]{|z|}(\cos(\frac{2k\pi+\varphi}{3})+i\sin(\frac{2k\pi+\varphi}{3}))}\),gdzie k=0,1,2
\(\displaystyle{ |z|=1,\varphi=\pi}\)
Pozdrawiam
Mamy równanie:
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1}{8}(1-\sqrt{3})^{3}}\)
Łatwo odgadnac,ze jednym z pierwiastkow będzie:
\(\displaystyle{ z_{0}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})}\)
Pozostale pierwiastki znajdziemy,z wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}=z_{0}(\cos(\frac{2k\pi}{3})+i\sin(\frac{2k\pi}{3}))}\),gdzie k=1,2
Czyli:
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= -1}\)
Można tez "standardowo" (jest tu mala potega)
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1}{8}(1-\sqrt{3})^{3}=\frac{1}{8}*(-8)=-1}\)
i tu skorzystac ze wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[3]{|z|}(\cos(\frac{2k\pi+\varphi}{3})+i\sin(\frac{2k\pi+\varphi}{3}))}\),gdzie k=0,1,2
\(\displaystyle{ |z|=1,\varphi=\pi}\)
Pozdrawiam