Znajdź równanie rzeczywiste, którego rozwiązaniem...

[koralina19]

... są 4 wierzchołki kwadratu \(\displaystyle{ (1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)}\). Czy ktoś potrafiłby to zrobić, ponieważ ja nie mam pomysłu. Myślałam, że trzeba rozpisać je w postaci algebraicznej liczby zespolonej(\(\displaystyle{ x+iy}\)), a następnie wymnożyć każdy nawias z każdym. Lecz chyba to był zły pomysł, ponieważ wyszło mi \(\displaystyle{ 6-2i}\). Wie ktoś może jak wykonywać tego typu zadania ???

[Peter Zof]

\(\displaystyle{ x^4+4=0}\)

[koralina19]

\(\displaystyle{ x^4+4=0}\)

A jak do tego doszedłeś ????

[arek1357]

są 4 wierzchołki kwadratu (1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1). Czy ktoś potrafiłby to zrobić, ponieważ ja nie mam pomysłu.

A co w tym jest do zrobienia bo chyba tu nie ma pytania w tym zdaniu ani zawartego problemu ot tylko, że są jakieś wierzchołki ale o tym to nawet i ja się zorientuję!

[koralina19]

No tak zapomniałam dopisać. Należy znaleźć równanie, które ma te 4 rozwiązania.

[arek1357]

pierwsze dwa i ostatnie dwa są sprzężone co daje takie a nie inne równanie

\(\displaystyle{ (x^2-2x+2)(x^2-2x+2)=0}\)


Grupa Galois tego równania:

\(\displaystyle{ H=\left\{ (1)(2)(3)(4)=e\\
(1)(2)(3 4)=a\\
(1 2)(3)(4)=b\\
(1 2)(3 4)=ab \right\}}\)

[koralina19]

pierwsze dwa i ostatnie dwa są sprzężone co daje takie a nie inne równanie

\(\displaystyle{ (x^2-2x+2)(x^2-2x+2)=0}\)


Grupa Galois tego równania:

\(\displaystyle{ (1)(2)(3)(4)}\)

\(\displaystyle{ (1)(2)(3 4)}\)

\(\displaystyle{ (1 2)(3)(4)}\)

\(\displaystyle{ (1 2)(3 4)}\)

A na czym polega Grupa Galois, ponieważ nigdy o niej nie słyszałam?

I jak doszedłeś, że dwa rozwiązania sprzężone dają takie, a nie inne równanie> Czy jest jakaś zależność lub dodatkowy wzór?

[arek1357]

Ja do niczego w sumie nie doszedłem tylko ja sobie na piechotę rozwiązałem równanie, które mój szanowny przedmówca Peter Zof raczył ułożyć jak widać dobrze to zrobił:

\(\displaystyle{ x^4+4=0}\)

Jest to równanie rozkładalne w ciele liczb wymiernych rozkłada się na dwa wielomiany stopnia dwa, które już się nie dadzą rozłożyć w ciele liczb wymiernych!
i dlatego grupa Galois jest taka a nie inna czyli:

\(\displaystyle{ H=\left\{ e,a,b,ab\right\}}\)

Jest to grupa czwórkowa Kleina (abelowa, wszystkie jej elementy są stopnia dwa), możesz wspomnieć o tym na lekcji jak Cię będą pytać z tego równania, na pewno profesor się ucieszy jak błyśniesz z teorii grup (teorii Galois) i może wstawi Ci szóstkę!

Dlatego temat ten rozwinąłem, żebyś dostała szóstkę na zajęciach!

[a4karo]

A na czym polega Grupa Galois, ponieważ nigdy o niej nie słyszałam?

I nie musisz. Arek1357 jak zwykle pojechał po bandzie. Byc może w szkole, w której będą uczyli o funkcji dzeta Riemanna, teoria Galois będzie w gimnazjum, ale na razie tak nie jest..

Rozumiem, że pytanie jest przy okazji liczb zespolonych.
Dojśc do róanania można tak: punkty sa wierzchołkami kwadratu. Jak obrócimy ten obrazek o 45 stopni, to otrzymamy wierzchołki ośmiokąta foremnego, którego pozostałymi wierzchołkami sa punkty \(\displaystyle{ \pm\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \pm i\sqrt{2}}\).

Te osiem punktów to pierwiastki z jedynki stopnia 8 , czyli rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^8-16=0}\), czyli \(\displaystyle{ (z^4-4)(z^4+4)=0}\). łątwo widać, że rozwiązania pierwszego równania, to pierwiastki czwartego stopnia z 4, czyli punkty \(\displaystyle{ \pm\sqrt2}\) oraz \(\displaystyle{ \pm i\sqrt2}\), zatem pozostałe wierzchołki muszą spełniać drugie równanie.

[arek1357]

No ja myślę, że koleżanka jest ze studiów a nie gimnazjum i dlatego warto czymś błysnąć, żeby sobie wyrobić dobre oko u profesorów, ja np. zawsze mazałem tablicę bo nie miałem czym błysnąć heh...

[koralina19]

Jejku teraz już wszystko rozumiem. Bardzo dziękuję za pomoc