równania zespolone

[ququczkqu]

Witam, mam problem z 2 przykładami "w zbiorze licz zespolonych rozwiąż równanie":

a) \(\displaystyle{ z ^{4} - 2z ^{2} +5 = 0}\)

b) \(\displaystyle{ (z+1+i) ^{4} + (1+2i) ^{8} = 0}\)

w poprzednich przykładach \(\displaystyle{ z}\) z działaniami udało mi się zastępować zmienną \(\displaystyle{ w}\), z której rozwiązywałem równanie i przechodziłem z powrotem na \(\displaystyle{ z}\). Tym razem w przykładzie a) nie potrafię zamienić \(\displaystyle{ z ^{4} - 2z ^{2}}\) na inną liczbę zespoloną. Natomiast w b) \(\displaystyle{ (1+2i) ^{8}}\) nie wiem jak zmienić to w postać trygonometryczną. Czy dobrze rozumuję? Proszę o jakąś radę bądź rozwiązanie, pozdrawiam

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ z ^{2}=t}\) i dalej liczysz z delty

[ququczkqu]

Również i tak próbowałem, otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ w ^{2} -2w +5 = 0}\), delta jest ujemna, no i nie za bardzo wiem co dalej począć.

[miodzio1988]

Dalej liczysz pierwiastek z delty.

[ququczkqu]

Dzięki, próbuję i zobaczę czy coś wyjdzie!

-- 26 lis 2015, o 16:36 --

Pierwiastki mi wyszły:
\(\displaystyle{ w _{1} = 1 +2i}\)
\(\displaystyle{ w _{2} = 1 - 2i}\)
teraz zamianiam \(\displaystyle{ w}\) na \(\displaystyle{ z}\) i chcę policzyć 2 rozwiązania jednak w postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ w _{1}}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{5} }}\) i \(\displaystyle{ sin \alpha \frac{2}{ \sqrt{5} }}\), z których nie do końca jestem w stanie liczyć argument, a nie potrafię wyznaczyć go inaczej. Pomocy

-- 26 lis 2015, o 16:49 --
ok, myślę, że wiem jak dokończyć to zadanie, ktoś coś z przykładem b)? Tam nie mam pojęcia jak rozpocząć działanie. Pozdrawiam

[Kartezjusz]

Masz \(\displaystyle{ z^2}\), a \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ (z+1+i) ^{4} + (1+2i) ^{8} = 0}\)
\(\displaystyle{ (z+1+i)^4 = -(1+2i)^8}\)
Teraz trzeba znaleźć zbiór \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-(1+2i)^8}}\), jeśli jego elementy oznaczymy przez \(\displaystyle{ \omega_k , \quad k \in \{ 0,1,2,3\}}\), to na pewno \(\displaystyle{ \omega_0 = -(1+2i)^2 = 3 - 4i}\). Kolejne elementy łatwo znaleźć obracając o odpowiedni kąt, mianowicie o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), czyli po prostu mnożąc przez \(\displaystyle{ i}\). Potem można wziąć \(\displaystyle{ z+1+i = \omega_k}\) i dostać cztery szukane rozwiązania.
Pozdrawiam.

[ququczkqu]

Dokładnie tak zrobiłem. Mam pytanko odnoście zadania b), czy mogę zastosować takie przejścia:
\(\displaystyle{ (z+i+1) ^{4} = -1*(1+2i) ^{8}}\)
\(\displaystyle{ -1=i ^{2}}\)
\(\displaystyle{ c ^{4} = i ^{2} (1+2i) ^{8}}\)
\(\displaystyle{ c = \sqrt{i} (1+2i) ^{2}}\)-- 26 lis 2015, o 17:14 --Dzięki wielkie za pomoc!

[Kartezjusz]

To będzie tylko jedno z rozwiązań.. Dużo ominiesz

[ququczkqu]

Witam po raz kolejny, teraz nurtuje mnie pytanie:

Jeżeli wiemy że na pewno jednym z rozwiązań równania jest , to czy tą "-1" możemy zapisać jakoś bardziej formalnie (ponieważ jest pod pierwiastkiem), np i^2? Również (-i)^2 jest równe -1, a wkładając to pod pierwiastek 4 stopnia, otrzymujemy całkiem inny wynik. Czy mogę prosić o małe wyjaśnienie? Pozdrawiam!

[Kartezjusz]

Dlatego tą drogą masz 8 rozwiązań do sprawdzenia