Moduły i liczba

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieje \(\displaystyle{ z}\) takie, że \(\displaystyle{ |z+ \frac{1}{z} |= 1}\) i \(\displaystyle{ |2z| =\pi}\) ?

[Premislav]

Nie. Uzasadnienie: załóżmy, że mamy \(\displaystyle{ \left| 2z\right|=\pi}\). Zatem jest \(\displaystyle{ \left| z\right|= \frac{\pi}{2}}\). Podstawiamy więc \(\displaystyle{ z= \frac{\pi}{2}e^{i\theta}}\) do wyrażenia
\(\displaystyle{ \left| z+ \frac{1}{z} \right|}\) i po chwili obliczeń otrzymujemy, że jest ono równe
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{\pi^{2}}{4}+ \frac{4}{\pi^{2}} }}\), co w oczywisty sposób jest większe od \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a więc i od \(\displaystyle{ 1}\).