Korzystając ze wzorów de Moivre'a wyrazić \(\displaystyle{ \tg 6x}\) przez funkcję \(\displaystyle{ \tg x}\).
Wiem jak działać w przypadku sinusów i cosinusów (rozpisuje się np. wyrażenie \(\displaystyle{ {(\cos x + i\sin x)}^{6}}\) ze wzoru de Moivre'a i wzoru Newtona, a następnie porównuje części rzeczywiste/urojone wyników), ale z tangensem sobie nie radzę
Próbowałem z zapisem: \(\displaystyle{ \tg 6x = \frac{\sin 6x}{\cos 6x} = \frac{ {(\cos x + i \sin x)}^{6} } {{(\cos x + i \sin x)}^{6} }}}\)
ale wtedy licznik i mianownik by się skróciły i zostałoby 1, a to raczej nie jest rozwiązanie...
\(\displaystyle{ {(\cos x + i\sin x)}^{6}}\) ze wzoru de Moivre'a i wzoru Newtona, a następnie porównuje części rzeczywiste/urojone wyników), ale z tangensem sobie nie radzę
Po rozpisaniu dostajesz \(\displaystyle{ \cos 6x+ i \sin 6x=(\cos x + i\sin x)^{6}=\cos^6x +i6 \cos^5x \sin x-15 \cos^4 x \sin ^2 x- \\ -i20\cos^3 x \sin^3 x+15\cos^2 x \sin^4 x+i6\cos x \sin^5 x-\sin^6 x}\)
co daje: \(\displaystyle{ \cos 6x=\cos^6x -15 \cos^4 x \sin ^2 x+15\cos^2 x \sin^4 x-\sin^6 x}\) \(\displaystyle{ \sin 6x=6 \cos^5x \sin x-20\cos^3 x \sin^3 x+6\cos x \sin^5 x}\)
stąd: \(\displaystyle{ \tg 6x= \frac{\sin 6x}{\cos 6x}= \frac{6 \cos^5x \sin x-20\cos^3 x \sin^3 x+6\cos x \sin^5 x}{\cos^6x -15 \cos^4 x \sin ^2 x+15\cos^2 x \sin^4 x-\sin^6 x} =\\= \frac{ \frac{6 \cos^5x \sin x-20\cos^3 x \sin^3 x+6\cos x \sin^5 x}{\cos^6 x}}{ \frac{\cos^6x -15 \cos^4 x \sin ^2 x+15\cos^2 x \sin^4 x-\sin^6 x}{\cos^6 x}}= \frac{6 \tg x-20\tg^3 x+6\tg^5 x}{1-15\tg^2 x+15\tg^4 x-\tg^6 x}}\)
