2 równania ze sprzężeniem

[Frynio]

Witam. Rozwiązuję dane równanie:

\(\displaystyle{ (2z+1)^4=(\overline{z}+i)^4}\)

Dla 1:

\(\displaystyle{ 2z+1=\overline{z}+i}\)
\(\displaystyle{ x+3yi=-1+i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=-1+\frac{1}{3}i}\)

Dla -1:

\(\displaystyle{ -2z-1=\overline{z}+i}\)
\(\displaystyle{ -3x-yi=1+i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=-\frac{1}{3}-i}\)

I teraz się pojawia problem. 2 pozostałe pierwiastki wg WolframAlpha to \(\displaystyle{ z_{3}=0}\) i \(\displaystyle{ z_{4}=-\frac{4}{3}-\frac{2i}{3}}\)

Mam takie równanka (Wolfram je rozwiązuje dobrze, lecz ja nie potrafię):

Dla i:

\(\displaystyle{ 2zi+i=\overline{z}+i}\)
\(\displaystyle{ 2zi=\overline{z}}\)

Dla -i:

\(\displaystyle{ -2zi-i=\overline{z}+i}\)
\(\displaystyle{ -2zi=\overline{z}+2i}\)

Jak mogę rozwiązać te 2 równania?

[macik1423]

W pierwszym spróbuj tak to rozwiązać:
\(\displaystyle{ (2z+1)^4=(\overline{z}+i)^4}\)
\(\displaystyle{ \frac{(2z+1)^4}{(\overline{z}+i)^4}=1}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{2z+1}{\overline{z}+i}\right)^4=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{2z+1}{\overline{z}+i}=\sqrt[4]{1}}\)
i teraz spróbuj znaleźć wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).

[kerajs]

Ale autor dokładnie tak rozwiązuje to równanie.

Dla i:
\(\displaystyle{ 2zi+i=\overline{z}+i}\)
\(\displaystyle{ 2zi=\overline{z}}\)

\(\displaystyle{ 2(x+iy)i=x-iy \\ i2x-2y=x-iy}\)
Porównujesz części rzeczywiste i części urojone dostając układ równań:
\(\displaystyle{ -2y=x \wedge 2x=-y}\)
Którego rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ x=y=0 \Rightarrow z=0}\)

Dla -i:
\(\displaystyle{ -2zi-1=\overline{z}+i}\)
\(\displaystyle{ -2zi=\overline{z}+2i}\)

\(\displaystyle{ -2(x+iy)i=x-iy +i2\\ -i2x+2y=x+i(-y+2)}\)
Tu masz układ równań:
\(\displaystyle{ 2y=x \wedge -2x=-y+2}\)
Rozwiąż go samodzielnie