Wyznacz pierwiastki równania

[jeremi18]

Wyznacz wszystkie pierwiastki równania





\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{8-8i}{1+i}}\)




Temat i zapis poprawiałam, proszę zapoznać się regulaminem.
ariadna

[mol_ksiazkowy]

wsk \(\displaystyle{ z^3= 8\frac{1-i}{1+i} =8\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=8\frac{1-2i -1}{2}=-8i}\)

[Kasiula@]

(*)\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{|w|}(\cos(\frac{\varphi + 2k\pi}{n})+ \sin(\frac{\varphi+2k \pi}{n})),k=0,...,n-1}\)
\(\displaystyle{ z^{3}=-8i z=\sqrt[3]{-8i}}\)
\(\displaystyle{ |w|=|-8i|=8, \varphi=-\frac{\pi}{2},k=0,1,2}\)
Podstawiając nasze dane do (*) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z_{0}=\sqrt{3}-i, z_{1}=2i, z_{3}=-\sqrt{3}-i}\)

Pozdrawiam

[jeremi18]

A jak to podstawić ???

[Kasiula@]

Teraz zauważyłam, ze we wzorze zabrakło „i”,czyli:
\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{|w|}(\cos(\frac{\varphi +2k \pi}{n})+i \sin(\frac{\varphi +2k \pi}{n}))}\)

U Ciebie:
n=3, w =-8i,reszta jest wyzej. Masz trzy pierwiastki,bo pierwiastek jest trzeciego stopnia.

Policze jeden z nich,np. dla k=1:
\(\displaystyle{ z_{1}=\sqrt[3]{8}(\cos(\frac{-\frac{\pi}{2} +2 \pi}{3})+i \sin(\frac{-\frac{\pi}{2} +2 \pi}{3}))=2(\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2}))=2i}\)

I tak podstawiasz dla k=0, k=2

Pozdrawiam