Jak przedstawić daną liczbę zespoloną

[glebor]

Mam problem z kilkoma przykładami:

\(\displaystyle{ Z^{3}}\)-1=0

Rozpisałbym to:
\(\displaystyle{ (x+iy)^{3}}\)-1=0
I teraz nie bardzo wiem co dalej zrobić, bo albo mogę policzyć moduł, kąty cos i isin fi, podstawić to pod wzór mnożenia postaci trygonometrycznej l. zespolonej i tak obliczę z. Od tego odejmę i i przyrównam do zera, ale czy to będzie dobrze?

Albo tak:
|z|=\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)=\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
cos F=\(\displaystyle{ \frac{x}{|z|}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\)=\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
sin F==\(\displaystyle{ \frac{y}{|z|}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\)=\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

F=\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ Z^{n}}\)=\(\displaystyle{ |Z|^{n}}\)\(\displaystyle{ \cdot}\)[cos(n\(\displaystyle{ cdot}\)f)+isin(n\(\displaystyle{ \cdot}\)f)]=\(\displaystyle{ \sqrt{2^{3}}}\)(cos(3\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4})}\)+isin(3\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)))=\(\displaystyle{ \sqrt{2^{3}}}\)(-\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)i)

Teraz bym to rozpisał na 2\(\displaystyle{ \sqrt{2^{}}}\)(-\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)i)-i=0

czy to jest dobrze i czy można to zrobić jakoś prościej ?

Z tego obliczę sobie z^3 a potem mogę mogę policzyć wzorem na pierwiastki z n=0,1,2

[macik1423]

A nie łatwiej \(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{1}}\)?

[glebor]

no tak nie zauważyłem dzięki.
to to można pyknąć w moment

a mam jeszcze problem z takim przykładem:
\(\displaystyle{ \frac{i^{3}(2+3i)^{2}}{(1+2i)^{2}}}\)

W pierwszym rozpisał by \(\displaystyle{ i^{3}=i^{2}\cdot i=-i}\)

więc: \(\displaystyle{ \frac{i^{3}(2+3i)^{2}}{(1+2i)^{2}}}\)=\(\displaystyle{ \frac{(-i)(-5+6i)}{(-3+4i)}}\)=\(\displaystyle{ \frac{5i+6}{-5+6i}\cdot \frac{-5-6i}{-5-6i}}\)=\(\displaystyle{ \frac{61-60i}{11}}\)

I teraz pewnie trzeba by obliczyć z wzorów skróconego mnożenia, dół pojechać przez sprzężenie mianownika i wyjdzie wynik jak dobrze rozumiem.

[macik1423]

ja bym to może zapisał tak: \(\displaystyle{ i^3\left(\frac{2+3i}{1+2i}\right)^{2}}\) i tu usunął urojenie z mianownika, a potem do kwadratu.

[glebor]

no tak, jak zwykle można prościej dzięki starałem się to rozwiązać na ile potrafię -- 22 lis 2015, o 13:23 --A to jeszcze mam jedno pytanie, czy:
\(\displaystyle{ -1+i \sqrt{3}=-1+ \sqrt{3}i}\)

[macik1423]

Tak, bo mnożenie jest przemienne.

[miodzio1988]

no tak nie zauważyłem dzięki.
to to można pyknąć w moment

Te pierwiastki w \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}}\) trzeba wyznaczyć