Dziwny dowód (z=|z|)

[musaraj]

Na podstawie pewnego zadania dokonałem paru przekształceń... i doszedłem do wniosku, że \(\displaystyle{ \wedge x \in R : e ^{ix} = 1}\) (a więc wspomniane |z|=z) i teraz uparcie szukam błędu... Ktoś pomoże?

\(\displaystyle{ \wedge x \in R \vee y \in R : x=2\pi y}\)
Niech
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos x+i\sin x)}\) ....||| Podstawiam \(\displaystyle{ 2\pi y}\) pod \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos 2 \pi y + i\sin 2 \pi y)}\) ||| korzystam z wzoru Eulera
\(\displaystyle{ z=|z|\cdot e ^{i \cdot 2 \pi y}}\) ...................||| przekształcam wyrażenie w wykładniku i całą potęge
\(\displaystyle{ z=|z|\cdot (e ^{i \pi })^{2})^{y})}\) ................||| korzystam z klasycznego \(\displaystyle{ e ^{i \pi }=-1}\)
\(\displaystyle{ z=|z|\cdot ((-1) ^{2})^{y}}\)
\(\displaystyle{ z=|z|\cdot 1^{y}}\) ......................||| \(\displaystyle{ \wedge y \in R : 1^{y}=1}\)
\(\displaystyle{ z=|z|}\)

Co poszło nie tak?

[matmatmm]

Bo \(\displaystyle{ y}\) nie musi być liczbą całkowitą. Na przykład jeśli \(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}}\), to \(\displaystyle{ 1^y}\) może przyjmować trzy wartości (trzy pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki).