macierz z liczbami zespolonymi

JaNieWiem · Post autor: **JaNieWiem** » 19 lis 2015, o 20:09

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}z^{2}&0&0&-z^{2}\\i&z&0&-i\\2&-z&z&-2\\0&z&i&z\end{array}\right]=8z^{2}i}\)

czy mógłby ktoś pomóc rozwiązać to równanie, dochodzę do martwego punktu (już po rozwiązaniu macierzy) i nie wiem czy mam błąd przy rozwiązywaniu macierzy czy samego wyniku na liczbach zespolonych.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 lis 2015, o 20:13

Chodzi o wyznacznik tej macierzy? Jeśli tak, to dodaj czwartą kolumnę do pierwszej - taka operacja nie zmienia wyznacznika. I będzie można dość bezboleśnie pojechać z rozwinięcia Laplace'a (względem "nowej" pierwszej kolumny).

JaNieWiem · Post autor: **JaNieWiem** » 19 lis 2015, o 20:19

łatwiej wychodzi gdy do 4 doda się pierwszą wtedy zostaje zero choć i tak nie zostaje użyte, wyznacznik mam policzony. wg moich obliczeń to \(\displaystyle{ z^{5}}\)
i zostaje równanie \(\displaystyle{ z^{5}=8z^{2}i}\)
mogę podzielić przez \(\displaystyle{ z^{2}}\) i zostaje
\(\displaystyle{ z^{3}=8i}\) co nawet po rozwinięciu nie do końca jest dla mnie jasne.
mam \(\displaystyle{ x^{3}+3x^{2}yi-3xy^{2}-yi=8i}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 lis 2015, o 20:27

Wyznacznik policzyłeś dobrze.
Natomiast nie wolno Ci ot tak dzielić stronami równania przez \(\displaystyle{ z^{2}}\) - w ten sposób gubisz rozwiązanie \(\displaystyle{ z=0}\).
Zostaje \(\displaystyle{ z^{3}=8i}\), a z tego możesz łatwo wyliczyć rozwiązania, używając postaci trygonometrycznej i wzoru de Moivre'a.
A jeśli wolisz wzory skróconego mnożonka: \(\displaystyle{ z^{3}-8i=0 \Leftrightarrow z^{3}+(2i)^{3}=0}\). Stosujesz wzór na sumę sześcianów i wydobywasz kolejne rozwiązanie, zaś dwa pozostałe wyliczasz np. poprzez znaną i (nie)lubianą metodę z wyróżnikiem trójmianu.

JaNieWiem · Post autor: **JaNieWiem** » 19 lis 2015, o 20:37

chwila ale jeśli nie mogę podzielić przez \(\displaystyle{ z^2}\) to jak inaczej to policzyć aby zostało 0?
po kolei de Moivrem aż do pierwiastka 5-stopnia?
i w jaki sposób łatwo z \(\displaystyle{ z^{3}=8i}\) wyliczyć? i tak muszę rozwinąć \(\displaystyle{ z^{3}}\) i przenieść 8i.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 lis 2015, o 20:40

Napisałem "nie możesz ot tak podzielić przez \(\displaystyle{ z^{2}}\)": chodzi o to, że piszesz coś w stylu "widzimy, że \(\displaystyle{ z=0}\) jest rozwiązaniem równania, a dalej zakładamy \(\displaystyle{ z\neq 0}\)" i wtedy dzielisz.

JaNieWiem · Post autor: **JaNieWiem** » 19 lis 2015, o 20:45

a to ok, myślałem że coś ważnego pominąłem o czym nie wiem.
Formalności zostawiam na kolokwium ale dzięki za przypomnienie