Potęgowanie ilorazu

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ekarliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 10 sty 2008, o 21:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nibylandia
Podziękował: 1 raz

Potęgowanie ilorazu

Post autor: ekarliczek »

Mam do rozwiązania zadanko:
\(\displaystyle{ \frac{(1+i) ^{n} }{(1-i) ^{n-2} }}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ n\ge2}\).

Osobno obliczam licznik i mianownik,
z licznika otrzymuję:
\(\displaystyle{ z ^{n}=( \sqrt{2}) ^{n}(cos \frac{ \pi n}{4} + isin \frac{ \pi n}{4})}\),
natomiast z mianownika:
\(\displaystyle{ z ^{n-2} = ( \sqrt{2}) ^{n-2} (cos ((n-2) \cdot \frac{7 \pi }{4}) + isin((n-2) \cdot \frac{7 \pi }{4}))}\)

i tutaj niestety się zacinam i przy każdej probie policzenia tego wychodzi mi inny wynik :/

Generalnie wynik powinien wyjść \(\displaystyle{ 2i ^{n-1}}\).

Z góry dziękuję za pomoc
macik1423
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 875
Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: R do M
Podziękował: 56 razy
Pomógł: 234 razy

Potęgowanie ilorazu

Post autor: macik1423 »

Radziłbym w mianowniku zapisać \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{7}{4}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right)=\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}\) i potem z liczbami zespolonymi przejść do postaci wykładniczej.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Potęgowanie ilorazu

Post autor: Mariusz M »

Dzielenie też można wykonać na postaci trygonometrycznej

\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left| z_{1}\right| }{\left| z_{2}\right| }\left( \cos{\left( \arg{\left( z_{1}\right)-\arg{\left( z_{2}\right) }\right) }+i\sin{\left( \arg{\left( z_{1}\right)-\arg{\left( z_{2}\right) }\right)}\right)}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Potęgowanie ilorazu

Post autor: a4karo »

Wsk: \(\displaystyle{ \frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=(1+i)^2\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n-2}}\).

Oblicz wartość pierwszego iloczynu oraz wartość ilorazu w nawiasie (bez postaci trygonometrycznej).
ekarliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 10 sty 2008, o 21:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nibylandia
Podziękował: 1 raz

Potęgowanie ilorazu

Post autor: ekarliczek »

Dziękuję za podpowiedzi Jak tylko będę miała wolną chwilę (dziecko pojdzie spać) to wezmę się za liczenie -- 18 listopada 2015, 00:25 --
a4karo pisze:Wsk: \(\displaystyle{ \frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}=(1+i)^2\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n-2}}\).

Oblicz wartość pierwszego iloczynu oraz wartość ilorazu w nawiasie (bez postaci trygonometrycznej).
Skorzystałam z Twojej wskazówki i obliczyłam wyrażenie bez postaci trygonometrycznej. Otrzymałam \(\displaystyle{ 2i(i) ^{n-2}}\).

Dalej za \(\displaystyle{ z _{1}}\) przyjęłam \(\displaystyle{ i}\) i wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ z^{n-2}=(cos \frac{ \pi }{2} + isin \frac{ \pi }{2} ) ^{n-2}= 1 ^{n-2}}\)

Podstawiłam do tego co otrzymałam wcześniej i wyszło mi faktycznie \(\displaystyle{ 2i ^{n-2}}\)

Czy na pewno jest to dobry tok rozumowania?
ODPOWIEDZ