Równanie zespolone

[Sosjerka]

\(\displaystyle{ |\bar{z}|^{2} = \frac{|z|^{2}}{\bar{z}-i}}\)

Próbuję rozwiązać to za pomocą postaci wykładniczej.

\(\displaystyle{ z= re^{i \varphi}}\)
\(\displaystyle{ \bar{z}= re^{-i \varphi}}\)
\(\displaystyle{ -i=re^{ \frac{3}{2} \pi i}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ r^{2} = \frac{ r^{2} }{re^{-i \varphi}+re^{ \frac{3}{2} \pi i}}}\)

\(\displaystyle{ r^{3}( e^{-i \varphi}+e^{ \frac{3}{2} \pi i})= r^{2} e^{0}}\)

Tutaj porównuję:
\(\displaystyle{ r^{3} = r^{2}}\)
\(\displaystyle{ r=0 \ v \ r=1}\)

Teraz kąt:
\(\displaystyle{ 2k \pi - \varphi + \frac{3}{2} \pi =0}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{3}{2} \pi + 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{3}{2} \pi}\)

\(\displaystyle{ r=0 \Rightarrow \ z_{1}=0}\)
I to jest jedna poprawną odpowiedź.
Drugą odpowiedzią jest:

\(\displaystyle{ z_{2}=1-i}\)

Niestety wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ z_{2} = re^{ \frac{3}{2} \pi i }}\)

\(\displaystyle{ e^{i \varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi}\)

\(\displaystyle{ z_{2} = \cos \frac{3}{2} \pi +i\sin \frac{3}{2} \pi = -i}\)

Nie wiem, gdzie popełniał błąd.

[kerajs]

\(\displaystyle{ |\bar{z}|^{2} = \frac{|z|^{2}}{\bar{z}-i}}\)
\(\displaystyle{ r^{2} = \frac{ r^{2} }{re^{-i \varphi}+\blue 1 \black e^{ \frac{3}{2} \pi i}}}\)

\(\displaystyle{ |\bar{z}|^{2} = \frac{|z|^{2}}{\bar{z}-i} \ \ , \ \ z \neq -i}\)
\(\displaystyle{ |z|^{2} = \frac{|z|^{2}}{\bar{z}-i}}\)
\(\displaystyle{ |z|^{2}(1- \frac{1}{\bar{z}-i})=0}\)
\(\displaystyle{ |z|=0 \ \vee \ \bar{z}-i-1=0 \ \\ \ z=0 \vee z=1-i}\)