Przedstaw w postaci trygonometrycznej i oblicz

[patrakus]

Mam taki przykład \(\displaystyle{ (1 + 2i)^{2}}\) i po wyliczeniu modułu dostaję \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).
Po tym właśnie nie wiem jak policzyć \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) bo dostaję takie ułamki
\(\displaystyle{ \cos \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\)
Jak to mam już przeliczyć na radiany?

[Poszukujaca]

Ale po co Ci radiany?

Masz przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej. To co potrzebujesz do wzoru to argument liczby zespolonej czyli kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz moduł, który już masz.-- 15 lis 2015, o 20:53 --Argument obliczysz w ten sposób:

\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\)

[patrakus]

No dobra mam tak:
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{5} = \frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{2 \sqrt{5} }{5}= \frac{4}{5}

(1+2i)^{2} = ( \sqrt{5} )^{2} \cdot ( 2 \cdot \frac{2}{5} + i 2 \cdot \frac{4}{5} ) =4 +8i}\)
To już jest poprawny wynik?

[Poszukujaca]

Nie.

Zobacz na postać trygonometryczną liczby zespolonej: \(\displaystyle{ z=|z| (\cos \alpha+ i \sin \alpha)}\)

Dlaczego piszesz, że \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5 }}{5}=\frac{2}{5}}\) ?

[patrakus]

Teraz widzę ten błąd, ale to nie zmienia faktu że dalej nie wiem ile to \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi.
Wiem że
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\)
I co dalej mam robić?

-- 15 lis 2015, o 23:09 --

No dobra to już moja ostatnia myśl jak to zadanie skończyć.
\(\displaystyle{ (1+2i)^{2} = ( \sqrt{5} )^{2} \cdot ( \cos2 \alpha + i\sin2\alpha) = 5( \frac{2 \sqrt{5} }{5} + \frac{4 \sqrt{5} }{5}i) = \frac{10 \sqrt{5} }{5} + \frac{20 \sqrt{5} }{5}i}\)
To już jest poprawne? Jak nie to proszę o jego poprawną wersję