Proste równania z zespolonych

[maciek1o3s]

Hej, prosiłbym o sprawdzenie rozwiązania poniższych równań, ponieważ nie mam do nich odpowiedzi i odpowiedzenie na pare pytań.

1.
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1}\)

\(\displaystyle{ x+iy+1=-x+iy+1}\)

\(\displaystyle{ x=-x}\)

\(\displaystyle{ x=0}\)
ale z definicji zespolonych x i y są różne od 0, więc:
\(\displaystyle{ x\in \emptyset}\)
Z tego co wiem końcowa odpowiedź musi być dla \(\displaystyle{ z}\). Więc jak ona powinna tu wyglądać?
\(\displaystyle{ z \in \emptyset}\) ??

2.
\(\displaystyle{ |z+2|=|\overline{z}+2|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+2)^2+y^2}=\sqrt{(x+2)^2-y^2}}\)
\(\displaystyle{ y^2=-y^2}\)
\(\displaystyle{ y=0}\)
ale z definicji zespolonych x i y są różne od 0, więc:
\(\displaystyle{ y\in \emptyset}\)
Tutaj tak samo, jak zapisać końcową odp? Czy powinna ona wyglądać tak jak poniżej?
\(\displaystyle{ z \in \emptyset}\) ?

3.
\(\displaystyle{ 2x+(1+i)\overline{z}=1-3i}\)
\(\displaystyle{ 2(x+iy)+(1+i)(x-iy)=1-3i}\)
\(\displaystyle{ 2x+2iy+x-iy-ix-i^2y=1-3i}\)
\(\displaystyle{ 3x+y+i(y-x)=1-3i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+y=1 \\ y-x=-3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}}\)
Końcowa odp:
\(\displaystyle{ z=1+2i}\)

Czy dobrze?

[Poszukujaca]

Dlaczego twierdzisz, że zero jako liczba rzeczywista nie należy do liczb zespolonych?

-- 14 lis 2015, o 23:32 --

3) w trzeciej linijce masz błąd. Zamiast \(\displaystyle{ -ix}\) powinno być \(\displaystyle{ ix}\).

[maciek1o3s]

A racja, to i nie może być równe 0, tylko czy mógłby mi ktoś wyjaśnić czemu tak jest?

[Poszukujaca]

Zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem liczb zespolonych.

Dlatego \(\displaystyle{ 0 \in \CC}\) tak samo jak \(\displaystyle{ -6 \in \CC}\) lub jakakolwiek inna liczba rzeczywista.

[maciek1o3s]

Okej, tyle że ja pytam teraz o \(\displaystyle{ i}\) - jednak znalazłem już odpowiedź w tym temacie: 395704.htm - \(\displaystyle{ i*i=-1}\) wiec \(\displaystyle{ i}\) nie mogło by być 0.

Wiem jednak, że jeśli zaznaczamy zbiór na płaszczyźnie w zbiorze liczb zespolonych to pomijamy punkt (0,0), w takim razie 0 nie powinno należeć do zespolonych. Dobrze mówię?

[Premislav]

Wiem jednak, że jeśli zaznaczamy zbiór na płaszczyźnie w zbiorze liczb zespolonych to pomijamy punkt (0,0), w takim razie 0 nie powinno należeć do zespolonych.

Pierwsze słyszę. Jak najbardziej mamy \(\displaystyle{ 0 \in \CC}\). Jedynie nie mamy jednoznacznej postaci trygonometrycznej ani, co za tym idzie, wykładniczej dla zera (więc po prostu zera się w takiej postaci nie zapisuje).-- 15 lis 2015, o 01:51 --Ktoś Ci chyba wcisnął błędną definicję liczb zespolonych, ale okaż miłosierdzie i nie zabijaj go ani nie rań.

[maciek1o3s]

Okej, to w takim razie odniosę się do tematu gdzie mi to powiedziano: 395704.htm

Pytanie dotyczyło:

1) \(\displaystyle{ (z+2)^{2} = (\overline{z}+2)^{2}}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ z^2 + 4z + 4 = \overline{z}^2+4\overline{z} + 4}\)

\(\displaystyle{ (x+iy)^2 + 4(x+iy) = (x-iy)^2+4(x-iy)}\)

\(\displaystyle{ 4xiy + 8iy = 0}\)

\(\displaystyle{ iy(x+2)=0}\)

No to teraz moim zdaniem:
\(\displaystyle{ x=-2 \vee i=0 \vee y=0}\)

Ale wolfram podaje odpowiedź:
\(\displaystyle{ y=0\\
x=-2}\)

Co ja robię źle?

Odpowiedziano mi:

1. czy \(\displaystyle{ i}\) może być równe zeru?

Dopytałem czemu \(\displaystyle{ i}\) nie może być równe zeru. Otrzymałem takie rozszerzenie odpowiedzi:

Na przykatd dlatego, że gdyby było równe \(\displaystyle{ 0}\) to byłoby równe \(\displaystyle{ 0}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)

Albo dlatego, że \(\displaystyle{ i\cdot i=-1\neq 0}\)

Albo dlatego, że wtedy każda liczna zaspolona byłaby rrzeczywista, bo \(\displaystyle{ x+iy=x+0\cdot y=x}\)

W takim razie powiedzcie mi, kto z was nie ma racji i jak powinienem poprawnie rozwiązać te równania (włącznie z tym, które podałem tutaj w tym poście).

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[Premislav]

a4karo pisał jak najbardziej prawdę: że nie zachodzi \(\displaystyle{ i=0}\) - ale to nie świadczy o tym, że zero nie jest liczbą zespoloną. Podobnież nie zachodzi \(\displaystyle{ 1=0}\), ale to nie znaczy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest liczbą rzeczywistą.
Chyba że nie zrozumiałem Twoich wątpliwości, jeśli tak, to daj znać.-- 15 lis 2015, o 13:02 --\(\displaystyle{ i}\) jest jednostką urojoną, tj. konkretną liczbą zespoloną (a nawet urojoną), taką że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\) (tj. jest jednym z dwóch pierwiastków algebraicznych drugiego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\)). i nie jest dowolną liczbą zespoloną. \(\displaystyle{ i\neq 0}\), bo to po prostu dwie różne liczby, Pan a4karo napisał Ci, czemu są różne.

[maciek1o3s]

Okej dzięki za wyklarowanie sytuacji.
W takim razie, czy poprawnie rozwiązałem poniższe 2 równania?
1.
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1}\)

\(\displaystyle{ x+iy+1=-x+iy+1}\)

\(\displaystyle{ x=-x}\)

\(\displaystyle{ x=0}\)
Z tego co wiem końcowa odpowiedź musi być dla \(\displaystyle{ z}\). Więc jak ona powinna tu wyglądać?
\(\displaystyle{ z = 0}\) ??

2.
\(\displaystyle{ |z+2|=|\overline{z}+2|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+2)^2+y^2}=\sqrt{(x+2)^2-y^2}}\)
\(\displaystyle{ y^2=-y^2}\)
\(\displaystyle{ y=0}\)
Tutaj tak samo, jak zapisać końcową odp? Czy powinna ona wyglądać tak jak poniżej?
\(\displaystyle{ z = 0}\) ?

Mam jeszcze jedno pytanie, czy punkt (0,0) na płaszczyźnie należy do zbioru liczb urojonych? Z tego co pamiętam z wykładów to nie (nie bierze się go do końcowego rozwiązania), tylko dlaczego?

[NogaWeza]

1. Nie. Owszem, część rzeczywista musi być zerem, ale przecież część urojona może być dowolna. Wobec tego odpowiedź to \(\displaystyle{ z=yi, \quad y \in \mathbb{R}}\). No bo zobacz, co być sobie za \(\displaystyle{ y}\) nie podstawił to i tak w pewnym momencie to się skraca.

2. W jednym miejscu błąd, mianowicie: \(\displaystyle{ |\overline{z}+2| = |x+2 - yi| = \sqrt{(x+2)^2 + (-y)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + y^2}}\)

EDIT:
Właśnie, co do tego punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\). To jest jak najbardziej liczba zespolona, ale nie jest czysto urojona.
\(\displaystyle{ z = (x,y) = x+yi}\), oczywiście jak pewnie wiesz \(\displaystyle{ \mbox{Re}(z) = x}\) oraz \(\displaystyle{ \mbox{Im}(z) = y}\).

Liczby zespolone to najszersze pojęcie, obejmujące wszystkie liczby takiej postaci. Zarówno \(\displaystyle{ \mbox{Re}(z)}\) jak i \(\displaystyle{ \mbox{Im}(z)}\) mogą być dowolne (oczywiście rzeczywiste).

Liczby rzeczywiste to takie, dla których \(\displaystyle{ \mbox{Re}(z)}\) jest dowolne, ale \(\displaystyle{ \mbox{Im}(z) = 0}\).

Natomiast liczby czysto urojone to takie, dla których część rzeczywista \(\displaystyle{ \mbox{Re}(z) = 0}\) i dodatkowo \(\displaystyle{ \mbox{Im}(z) \neq 0}\).

Na podstawie warunków, które Ci przedstawiłem możesz łatwo stwierdzić, że \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie spełnia trzeciego warunku, czyli nie jest urojona. Spełnia natomiast drugi warunek, czyli jest to liczba rzeczywista.